Задача 7.1. В 0 ч 00 мин началась посадка на поезд. В 0 ч 30 мин поезд отправился от станции, и 1 ч 00 мин поезд двигался равномерно со скоростью 60 км/ч. Затем он сделал остановку на 15 мин, а после остановки двигался равномерно со скоростью 120 км/ч в течение 1 ч 15 мин. Постройте график зависимости пути от времени в интервале от 0 ч 00 мин до 3 ч 00 мин. Решение. Для построения графика сначала по условию задачи составим таблицу значений времени движения поезда и соответствующих им значений пути. Время будем отсчитывать в часах от момента 0 ч 00 мин, путь — в километрах. Переведем значения времени в часы. Выберем в соответствии с условием задачи ряд значений времени 0; 0,5; 1,5; 1,75; 3,0 ч и вычислим значение пройденного пути для каждого из них. От момента времени 0 мин до момента времени 0,5 ч поезд был неподвижным, пройденный путь был равен s0 = 0. В момент времени 0,5 ч поезд начал движение и двигался в течение времени Δt1 = 1 ч с постоянной скоростью υ 1 =60 км/ч. Пройденный за это время путь Δs1 равен:
Δ s 1 = υ 1 Δ t 1 =60 км/ч ⋅ 1 ч=60 км . Общий пройденный путь s1 в момент времени t1 = 1 ч равен:
s 1 = s 0 +Δ s 1 =0+60 км=60 км . В интервале времени Δt2 от t1 = 1,5 ч до t2 = 1,75 ч поезд был неподвижным, и пройденный им путь не изменялся: Δs2 = 0, s2 = s1 + Δs2 = 60 км + 0 = 60 км. В интервале времени Δt3 от момента времени t2 = 1,75 ч до момента времени t3 = 3 ч поезд двигался с постоянной скоростью υ 2 =120 км/ч . Пройденный им за это время путь Δs3 равен:
Δ s 3 = υ 3 Δ t 3 =120 км/ч ⋅ 1,25 ч=150 км . Общий пройденный путь s3 в момент времени t3 = 3 ч равен:
s 3 = s 2 +Δ s 3 =60 км +150 км=210 км .
По данным таблицы построим график зависимости пройденного поездом пути s от времени t. Для этого нанесем точку 0 и от точки 0 проведем координатные оси. На вертикальной оси будем откладывать путь s в километрах. Так как максимальное значение пройденного пути равно 210 км, можно отметить на вертикальной оси 21 штрих на равных расстояниях. Расстояние между соседними штрихами соответствует 10 км. По горизонтальной оси будем откладывать время в часах. Для этого нанесем на равных расстояниях 12 штрихов. Расстояние между соседними штрихами соответствует 0,25 ч. По данным таблицы нанесем на график точки (рис. 17). Первая точка определяет значение пройденного пути в момент времени t = 0. Пройденный путь в этот момент времени равен 0. На графике эта точка совпадает с началом координат. Обозначим ее на графике цифрой 1.
Рис. 17
Вторая точка определяет значение пройденного пути в момент времени t = 0,5 ч. Так как поезд не двигался, путь равен 0. Вторая точка находится на горизонтальной оси у штриха 0,5 ч. Она обозначена на графике цифрой 2. Третья точка определяет значение пройденного пути в момент времени t = 1,5 ч. В этот момент времени пройденный путь равен 60 км, поэтому третья точка находится на пересечении вертикальной линии, проходящей через штрих 1,5 ч на горизонтальной оси, и горизонтальной линии, проходящей через точку 60 км на вертикальной оси. Аналогично найдем положения точек 4 и 5. Соединив отрезками соседние точки, окончательно построим график. Обоснуем правомерность проведения отрезков между соседними точками. В интервале времени от 0 до 0,5 ч поезд был неподвижным. Путь в любой момент этого интервала времени не изменялся и оставался равным нулю. Каждая точка горизонтального отрезка 1—2 отражает характер движения — стояние поезда в этом интервале времени. В интервале времени от 0,5 до 1,5 ч скорость поезда была постоянной, поезд двигался равномерно. Графиком зависимости пути от времени равномерного движения со скоростью, отличной от нуля, является наклонная прямая. Соединив отрезком две найденные точки 2 и 3, определим участок графика зависимости пути от времени в интервале времени от 0,5 до 1,5 ч. Так же строим остальные участки графика. Обратим внимание на то, что угол наклона отрезков 2—3 и 4—5, являющихся графиками зависимости пути от времени при равномерном движении, увеличивается с возрастанием скорости равномерного движения. Задача 7.2. Решение. Поскольку зависимость пути от времени представлена в учебнике на рисунке 7.8 в виде трех отрезков, то можно сделать вывод, что на графике изображены три равномерных движения. В интервале времени 0—0,5 ч путь не изменялся со временем, следовательно, автомобиль был неподвижным: υ 0−0,5 =0 . В интервале времени 1—1,5 ч за время t = 0,5 ч был пройден путь 50 км. Скорость автомобиля в этом интервале была равна υ 1−1,5 = 50 0,5 км/ч=100 км/ч . В интервале времени 3—4 ч за 1 ч был пройден путь 25 км. Скорость автомобиля в этом интервале была равна υ 3−4 = 25 1 км/ч=25 км/ч .
Дополнительная задача
Задача 7.3. На рисунке 18 представлен график зависимости пути s, пройденного телом, от времени t. Какой путь был пройден телом от десятой до двадцатой секунды от момента начала движения?
Рис. 18
Решение. Найдем путь, пройденный телом от 10 до 15 с:
s=( s 15 − s 10 )=10 м−5 м=5 м . По графику видно, что в интервале от 15 до 25 с тело не двигалось и пройденный путь был равен нулю. Весь путь, пройденный телом от десятой до двадцатой секунды, равен 5 м.