Введение
Наиболее любознательные учащиеся сталкиваются при изучении физики с характерной трудностью – недостатком математических знаний. Огромное число интересных задач, физическое содержание которых понятно, не могут быть решены, поскольку требуют знания производной, интеграла или дифференциальных уравнений. Например: учащиеся еще в 9-м классе знакомятся со вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения, однако этого недостаточно для расчета движения планет и космических кораблей. Хотя программой для физико-математических классов и предусмотрено изучение основ матанализа, однако, в средней школе вряд ли возможно овладеть техникой вычисления интегралов и решения диффуравнений в той степени, которая необходима для решения физических задач. Да и при наличии соответствующих знаний нужно иметь ввиду, что подавляющее большинство интегралов не вычисляются через элементарные и специальные функции, а аналитическое решение известно лишь для некоторых классов дифференциальных уравнений. Повсеместное распространение компьютеров дает возможность решать многие задачи численными методами, в основе которых – замена интегрирования суммированием и производных конечными разностями. В такой постановке задачи становятся доступными учащемуся. Единственное, что требуется – машина, умеющая считать.
Системы компьютерной математики Maple, Mathematica, Mathlab и Mathcad существенно облегчают диалог человека с компьютером при решении математических задач. Систему Mathcad выделяет среди вышеупомянутых систем чрезвычайно удобный интерфейс и превосходная графика. Для овладения Mathcadом, в отличие от языков программирования Pascal, Fortran не нужны ночные бдения в течение недель и месяцев. Метод решения конкретной задачи можно изучить прямо сейчас и тут же применять. Запоминать нужно минимальное количество сведений. Для написания программ с использованием Mathcadа требуется намного меньше времени, чем при использовании упомянутых языков программирования, благодаря большому набору встроенных функций. Все это важно для учащихся с психологической точки зрения, поскольку многими предметами учащиеся приучены к тому, что истинные знания и умения появятся не сразу, а когда-то потом, может быть через годы упорного труда. Происходит девальвация понятия "сейчас” и все откладывается на "потом”. А ведь жизнь не откладывается, она идет, она и есть то, что происходит сейчас. В этом смысле система Mathcad увеличивает цену полученных знаний, позволяет их применять, не откладывая интересующие вопросы в долгий ящик. Благодаря этому знания, полученные на уроках физики и математики, становятся мощным инструментом познания окружающего мира, а не набором сведений, необходимых для решения задач и головоломок на олимпиадах и вступительных экзаменах.
Учителю физики применение Mathcadа в учебном процессе дает возможность глубоко и наглядно осветить многие вопросы программы, а не ограничиваться описательной стороной дела.
Следует также иметь ввиду, что при традиционных методах преподавания, учащиеся хотя и получают полезные знания, но имеют весьма смутное представление о содержании и методах науки. Очень часто, наловчившись решать задачи про наклонную плоскость, линзы, электрические цепи с батарейками и лампочками и т.п., ученик думает, что это и есть физика. В этом смысле традиционные методы преподавания в какой-то степени дезориентируют учащегося. Применение систем компьютерной математики характерно для труда научного работника, поэтому использование Mathcadа в учебном процессе способствует профессиональной ориентации учеников, подумывающих о карьере ученого.
Изучение и применение системы Mathcad в муниципальной гимназии № 5 г. Новосибирска
В гимназии есть два компьютерных класса, оснащенных современными компьютерами, и кроме того у подавляющего большинства учащихся физматкласса есть компьютеры дома. Это является материальной базой для внедрения системы Mathcad в учебный процесс. Программой обучения в физматклассе предусмотрено изучение основ Mathcadа в 10-м классе в первой четверти в течение 16 часов и постоянное использование Mathcadа на всем протяжении обучения в 10-х и 11-х классах. Ознакомительный курс заканчивается зачетом, на котором учащиеся должны продемонстрировать умение:
-
Производить вычисления выражений сложного вида.
-
Производить разложение математических выражений на множители.
-
Упрощать математические формулы.
-
Решать уравнения и неравенства, а также системы уравнений.
-
Разлагать выражения на простейшие дроби.
-
Строить графики функций и форматировать их.
-
Решать графически уравнения и неравенства.
-
Получать аналитические выражения, если такие существуют, для различных сумм.
-
Вычислять суммы численно.
Последний пункт имеет особое значение, поскольку это основа численного интегрирования.
Начиная со второй четверти, в 10-м классе учащиеся не менее раза в неделю выполняют домашние задания по физике с использованием системы Mathcad. Выполненные задания раз в неделю представляются учителю на дискетах, либо отсылаются по электронной почте. Составной частью зачетов по физике по окончании 10-го класса и первого полугодия 11-го класса является решение физических задач с помощью системы Mathcad.
Для учащихся 9-го класса желающих продолжать учебу в физматклассе, в течение года, раз в неделю, проводились занятия по решению физических задач с помощью системы Mathcad. На этих дополнительных занятиях учащиеся овладевали системой Mathcad на уровне вышеприведенных требований зачета и программированием, а кроме того знакомились с графическим редактором CorelDRAW, необходимым для качественного оформления домашних работ. Большую часть времени занимало решение задач, главным образом по механике (численное интегрирование уравнений движения).
По нашему мнению, лучшее представление о возможностях применения Mathcadа в условиях средней школы может дать набор задач решаемых учащимися. Обзор задач и комментариев к ним будет составлять основу дальнейшего изложения. Предполагается, что известная квалификация знакомящегося с этими строками, избавляет от необходимости приводить подробные условия и решения задач. Следует заметить, что ряд заслуживающих внимания тем не отражены в данном материале из-за недостатка места или технических возможностей, например: применение анимации для моделирования волновых процессов, движение небесных тел в поле двойных звезд, солнечный парус, трехмерное моделирование потенциала, движение в магнитном поле и т. д.
Задачи по физике
Образцы задач, предлагаемых учащимся, имеют целью продемонстрировать на конкретных примерах разнообразие математических средств Mathcadа, а выбор физической тематики произволен в том смысле, что хотя по всем разделам курса физики можно составить достаточно много интересных задач, полностью отразить программу курса физики – такой цели данный материал не имеет.
Вычисление средней квадратичной скорости молекул с помощью функции пользователя.
Наиболее целесообразный путь решения задачи – создать функцию пользователя. В формуле используется абсолютная температура, а в условии температуры даются в градусах Цельсия, кроме того, необходимо подсчитать массу молекулы. Нет необходимости самому отдельно вычислять абсолютную температуру и считать массу молекул, а достаточно подставить формулы с числами вместо аргументов в функцию пользователя.
Способы распределения молекул по половинкам сосуда.
Для иллюстрации понятия наиболее вероятного состояния при изучении второго закона термодинамики рассматривают сосуд, в котором находятся пронумерованные молекулы и подсчитывают число способов, которым реализуется та или иная ситуация. Быстро и не мене наглядно можно получить результат средствами Mathcadа. Графики дают представление о том, что наиболее вероятная ситуация соответствует равномерному распределению молекул. А число способов, которым реализуется равномерное распределение, дает представление о вероятности отклонения от равновесного состояния, если число молекул равно числу Лошмидта.
Типовой вариант заданий для зачета представлен на рис 1. В дальнейшем учащиеся применяют полученные знания для выполнения домашних заданий по математике и физике, а также изучают другие возможности Mathcadа по мере прохождения соответствующего материала на уроках математики, физики и информатики. Имеется ввиду дифференцирование и интегрирование, решение дифференциальных уравнений, построение трехмерных графиков и объемных фигур, программирование в системе Mathcad.
Распределение Максвелла.
Можно изучить влияние температуры на форму и высоту кривой, а также на положение максимума функции распределения. С помощью суммирования можно посчитать долю молекул, обладающих скоростями в каком либо интервале, а также простым суммированием определить среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул.
Броуновское движение.
Наличие генератора случайных чисел дает возможность моделировать движение броуновской частицы.
Гармонический анализ.
Когда рассказывают ученикам о тембре звука, говорят о том, что наличие обертонов определяет окраску звука. Добавляют также, что обертоны – это колебания с частотами кратными основной. Но как получить несинусоидальное колебание с помощью набора гармоник учащиеся могут только догадываться. Совершенно четко видно, что, складывая в определенной пропорции гармоники с кратными частотами, можно получить колебания нужной формы, и чем больше число гармоник, тем отчетливее проступает форма нужного колебания. После того, как наглядно на качественном уровне понят смысл гармонического анализа, наиболее любознательным учащимся можно сообщить формулы для коэффициентов разложения в ряд Фурье. С помощью Mathcadа учащийся может вычислить необходимые интегралы.
Моделирование колебаний математического маятника.
При выводе формулы для периода колебаний математического маятника отмечают, что данная формула справедлива при малых амплитудах колебаний. А что будет при больших амплитудах колебаний? Mathcad позволяет всесторонне исследовать проблему. Можно численно получить решения точного и приближенного дифференциальных уравнений колебаний математического маятника, а затем сравнить полученные результаты. В случае малых амплитуд согласие между приближенным и точным решением действительно хорошее, графики обоих решений налагаются друг на друга в течение нескольких периодов. А в случае больших амплитуд, как показывает рис.7, расхождение и количественное, и качественное. При больших амплитудах колебания явно не синусоидальные. Таким образом, учащийся не только получает представление о точности приближенной формулы, но может получить результат для произвольных амплитуд.
Применение принципа суперпозиции для расчета сил электростатического взаимодействия в случае большого числа зарядов.
В школьном курсе электростатики ограничиваются изучением взаимодействия точечных зарядов, а о решении вопросов расчета взаимодействия заряженных тел не говорится, хотя с идейной точки зрения задача довольно проста: нужно разбить тело на малые части и применить принцип суперпозиции. Разумеется, такой способ возможен при наличии соответствующих вычислительных средств. Эти задачи могут служить промежуточным этапом на пути овладения методов решения задач с произвольным распределением зарядов. Очень полезно сравнивать результаты с теми, что получены применением закона Кулона, в случае если бы группа зарядов находилась в одной точке, на расстоянии x от выделенного заряда. При больших расстояниях х от системы результаты, как и следовало ожидать, близки. Таким образом, мы получаем иллюстрацию к критерию точечности заряда: заряды можно считать точечными, если расстояние между взаимодействующими зарядами велико по сравнению с размерами зарядов. После решения данных задач можно легко рассчитать силы взаимодействия между заряженным стержнем и точечным зарядом. Решение подобных задач дает хороший материал для изучения впоследствии понятия интеграла.
Расчет электрической цепи с помощью правил Кирхгофа.
Применение Mathcadа весьма эффективно при решении задач, где необходимо применение систем линейных уравнений, например, расчет электрических цепей. Хотя с математической точки зрения задача проста, однако большой объем вычислительной работы делает задачу в случае, например, 10 уравнений технически невыполнимой из-за практически неизбежных ошибок. Написать систему из 10 уравнений можно, а вот решить… Используя встроенную функцию Mathcadа, можно без труда справится с подобной задачей.
Нелинейные элементы в электрической цепи.
Поверхностное знание школьной программы создает иллюзию, что самым важным законом электромагнетизма является закон Ома. Его место в школьном курсе определяется тем, что он выражается простой формулой. А между тем линейная зависимость между током и напряжением скорее исключение, чем правило, и наиболее интересные и плодотворные применения электричества начинаются там, где нарушается закон Ома. В качестве примера применения Mathcadа рассмотрим задачу о последовательном соединении омического сопротивления и нелинейного элемента, ВАХ которого описывается степенной функцией (степенная ВАХ характерна для варистора). С математической точки зрения, трудность данной задачи связана с необходимостью решения уравнения, в котором неизвестная может быть в нецелой степени большей двух. Mathcad позволяет без труда численно решить уравнение и определить напряжение на элементах схемы, а также построить график зависимости напряжения на нелинейном элементе U от внешнего напряжения Е. Полученный график свидетельствует о том, что нелинейный элемент стабилизирует напряжение, т.е. если Е меняется в 5 раз, то напряжение U изменяется в 3 раза.
Задача о зарядах на нитях.
Многие поколения учащихся решали задачу об отталкивающихся заряженных шариках, подвешенных на нитях. Угол между нитями и длина нитей заданы и нужно найти либо величину заряда, либо массу шарика. Однако если видоизменить постановку задачи и считать неизвестным угол между нитями или расстояние между шариками, а массу и заряд шариков, а также длину нити считать известными, то задача становится неразрешимой для учащегося из-за кубического уравнения. С помощью Mathcadа уравнение можно решить либо аналитически, либо численно, либо графически.
Выводы
В связи с повсеместным распространением компьютеров и появлением систем компьютерной математики, в частности Mathcadа, можно и нужно существенно изменить характер и уровень преподавания школьных курсов физики и математики. Целесообразность широкого применения Mathcadа можно мотивировать следующим образом:
-
Mathcad делает изучение физики более легким, поскольку избавляет учащегося от массы рутинной вычислительной работы.
-
Mathcad делает изучение физики более интересным, поскольку позволяет рассмотреть множество интересных и ранее недоступных вопросов на очень высоком и часто профессиональном уровне.
-
Mathcad интуитивно понятен, легко осваивается на практике и не требует для изучения и применения чтения толстых книг, ведения конспектов и заучивания сложных правил.
-
Mathcad соответствует психологии школьника в том смысле, что решение интересующей проблемы можно получить в течение короткого периода времени, а не тренировать у компьютера усидчивость.
С учетом вышеизложенного представляется необходимой разработка новых задач, по крайней мере, для учащихся физматклассов и физматшкол. Представленный материал можно рассматривать как идею создания сборника задач по физике для физматшкол, изложенную на предметном уровне. | 
