Цели урока:

Оборудование: плакаты, демонстрирующие симметрию в древних рисунках, строительстве зданий, гербарий растений, влажные препараты: плоские черви; морская звезда, коллекции (жуки, бабочки) цветок – модель вишни; использование интерактивной доски, модель шара.(Все рисунки демонстрируются на интерактивной доске)

Эпиграф: «Сотри случайные черты – и ты увидишь мир прекрасен» А. Блок

ХОД УРОКА

1. Подготовка учащихся к активному и осознанному усвоению материала

Сообщение темы урока, сообщение целей урока учителями математики и биологии. Формулирование интегрированной цели урока в процессе беседы с учащимися.

Учитель математики говорит о том, что симметрия играет важную роль в геометрии. Она помогает нам решать большой класс задач на доказательство, построение и вычисление.

Г. Вейль «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

2. Актуализация опорных знаний по геометрии

Учитель математики говорит, что в ряде случаев симметрия даёт  наиболее простые и изящные решения задач по сравнению с методами, основанными на признаках равенства и подобия треугольников. Но симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и в физике, химии, искусстве, биологии. Чтобы получить ключ к раскрытию чудесных тайн природы, необходимо обратиться к геометрическому учению о симметрии. Человек, познавая явления природы, в ходе трудовой деятельности издавна поражался формам некоторых предметов и суждений. Очертания листьев на деревьях, расположение листьев, цветков, строение кристаллов, спирали раковин можно рассматривать как симметричное. Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта. Многовековые наблюдения человека привели к созданию учения о симметрии. Изучая геометрические фигуры, мы научились различать два вида симметрий(относительно точки и относительно прямой).

Задание. Укажите из окружающей обстановки в классе симметричные предметы и относительно прямой и относительно точки(окна состоят из симметричных прямоугольников относительно прямой и относительно точки, паркет из симметричных квадратов относительно прямой и относительно точки, стенды на стенах относительно прямой  и т. д.).

3. Задание по рядам: выбрать фигуры на рисунке, обладающие центральной симметрией – 1 ряд, выбрать фигуры, обладающие осевой симметрией – 2 ряд, выбрать фигуры, обладающие двумя видами симметрии 3 ряд.

Вопросы к учащимся по ходу ответов:

– Какие точки называются симметричными относительно прямой?
– Дайте определение фигуры, обладающей симметрией относительно прямой .Какие из данных фигур обладают осевой симметрией? И какая прямая является осью симметрии фигуры.
– Показать, что равнобедренный треугольник обладает осевой симметрией.

Решение: прямая l, содержащая  биссектрису угла С является осью симметрии данного треугольника.S₁(C) = C, точка С лежит на оси симметрии.  S₁(A) = B, S₁(B) = A так как l перпендикулярна АВ и проходит через середину АВ. Значит S₁(AС) = ВС, S₁(СВ) = СА,  S₁(АВ) = ВА. Таким образом треугольник АВС симметричен сам себе относительно прямой l.Аналогичные вопросы  для центральной симметрии.Какая фигура наиболее  «удивительна» из всех остальных фигур, представленных на чертеже? (Круг)

4. Этап систематизации знаний, формирования умений, навыков

Задание 1 (по группам)

Отметьте в тетрадях точки А и В. Как измерить расстояние между этими точками на местности, если точки разделены препятствием (болотом). Сами точки доступны. 

Решение: Выберем точку О произвольным образом, построим точки А₁ и В₁ симметричные точкам А и В относительно точки О. Отрезок А₁В₁ симметричен отрезку АВ относительно О. Симметричные отрезки равны, значит расстояние между А и В равно расстоянию между А₁ и В₁.

Задание 2 (по группам)

Доказать, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб. Решить задачу, не прибегая  к равенству треугольников, а используя симметрию.

Решение: Рассмотрим симметрию относительно прямой ВD. S_BD(A) = C, S_BD(C) = A,  так как ABCD – параллелограмм, то AO = OC, AC перпендикулярен  BD (дано). S_BD(B) = B, S_BD(D) = D, так как точки B и D лежат на оси симметрии. S_BD(BA) = ВC, S_BD(ВС) = ВА. Симметричные отрезки равны, значит ВС = ВА. Если в параллелограмме смежные стороны равны, то это ромб.

Задание 3 (по группам)

В треугольнике АВС медианы пересекаются а точке М. Точки P, Q, R – середины отрезков AM, BM, CM соответственно. Доказать, что А₁B₁C₁ = PQR, используя симметрию.

Решение: Докажем, что А₁B₁C₁ симметричен PQR .
Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит
Но (дано), следовательно РМ = МА₁, таким образом М – середина РА₁.Точки Р и  А₁ симметричны относительно М.
В₁ и Q симметричны относительно M. C₁ и R симметричны относительно M. (Доказывается аналогично).
Получаем, что А₁B₁C₁ симметричен PQR .А симметричные фигуры равны. Значит  А₁B₁C₁ = PQR

5. Переход к сообщению ученика.

– Сейчас мы познакомимся с фигурой, которую мы не изучали в курсе геометрии, но это четырёхугольник, обладающий осевой симметрией. Рассказ ученика о ромбоиде, а класс работает в тетрадях. Ученик самостоятельно по предложенной учителем литературе, путём логических рассуждений, используя факт наличия оси симметрии, получает новую фигуру. Один из способов мотивации учеников: здесь и новизна, и занимательность, и актуальность.

6. Сообщение ученика

– Сейчас мы получим четырёхугольник, имеющий лишь одну ось симметрии.

Рассмотрим четырёхугольник, у которого есть две равные смежные стороны, например АВ и АD.
При симметрии относительно биссектрисы l угла ВАD точка А симметрична сама себе (точка А лежит на оси симметрии).
Проведём BD. Точку пресечения BD и луча l обозначим О.
Рассмотрим треугольник АВD : AB = AD (дано), АО – биссектриса угла А, проведённая из вершины угла в равнобедренном треугольнике к его основанию, следовательно BO = OD и угол АОВ равен 90^o.
Получаем: прямая l проходит через середину отрезка BD и перпендикулярно к нему, значит точки В и D симметричны друг другу относительно прямой  l.
Чтобы четырёхугольник был симметричен сам себе относительно прямой, необходимо, чтобы точка С была симметрична сама себе относительно прямой l, то есть осталась бы лежать на оси симметрии.
Тогда ВС = СD, так как в треугольнике ВСD СО – медиана и высота, значит этот треугольник равнобедренный.
Таким образом мы получили  четырёхугольник АВСD, имеющий ось симметрии – прямую, содержащую биссектрису угла А.Такой четырёхугольник называется дельтоид. Итак дельтоид – выпуклый четырёхугольник, имеющий одну ось симметрии, на которой лежит его диагональ. Если у дельтоида все стороны равны, то это ромб.(наблюдение учащихся). Поэтому дельтоид ещё называют ромбоид. Всё построение ромбоида демонстрируется на интерактивной доске.

7. Применение полученных знаний. Контроль (тестирование)

Учитель математики: Проверим, как вы умеете применять знания о симметрии на практике самостоятельной работой. На интерактивной доске  изображены фигуры. Вы должны  вписать в 1 колонку номера фигур, обладающих осевой симметрией, во 2 колонку фигуры, обладающие центральной симметрией.

Самопроверка: всё верно – «5», 1, 2 ошибки – «4», 3 ошибки – «3».

8. Знакомство с симметрией в пространстве

Учитель математики: В курсе геометрии мы рассматривали плоские фигуры, но большинство фигур нас окружающих – объёмные и тоже есть симметричные. Подобно осевой симметрии на плоскости, в пространстве выделяют зеркальную симметрию относительно плоскости. На плоскости с бесконечным числом осей симметрии был круг, а в пространстве подобным свойством обладает шар. Если его рассечь плоскостью по большой окружности, то мы получим две одинаковые половины(демонстрация модели шара), т.е. шар симметричен относительно плоскости, проходящей через большую окружность. Зеркальная симметрия или симметрия относительно плоскости характерна всем представителям животного мира.

Учитель биологии: Геометрические знания о симметрии имеют огромное значение в природе. В кабинете вы назвали много симметричных предметов относительно прямой и относительно точки. А ведь осевая симметрия наблюдается  и в природе : среди животных и растительных организмов.

9. Усвоение знаний по биологии

Сообщение ученика о билатеральной симметрии.

С осевой симметрией мы встречаемся не только в геометрии, но и в природе. В биологии принято и правильно говорить не об осевой, а о двусторонней, билатеральной симметрии или зеркальной симметрии пространственного объекта. Двусторонняя симметрия характерна для большинства многоклеточных животных и возникла в связи с активным передвижением. Также двусторонней симметрией обладают насекомые и некоторые растения. К примеру форма листка не является случайной, она строго закономерна. Он как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок. Одна из этих половинок расположена зеркально относительно другой, совсем так, как располагаются друг относительно друга, отражение какого-либо предмета в зеркале и сам предмет. Для того, чтобы убедиться в сказанном, поставим зеркальце с прямым краем на линию, идущую вдоль черенка и разделяющую пластинку листка пополам. Заглянув в зеркальце, мы увидим, что отражение правой половины листка более или менее точно заменяют его левую половину и, наоборот, левая половина листка в зеркальце как бы перемещается на место правой половины. Плоскость, разделяющая листок на две зеркально равные  части называется плоскостью симметрии. Ботаники называют такую симметрию билатеральной или дважды боковой. Но не только древесный листок обладает такой симметрией. Мысленно можно разрезать на две зеркально равные части обыкновенную гусеницу. Пронеслась красавица бабочка с яркой расцветкой. Она тоже состоит из двух одинаковых половинок. Даже пятнистый узор на её крыльях подчиняется такой геометрии. И выглянувший из травы жучок и промелькнувшая мошка, сорванная ветка – всё подчиняется симметрии листка. Да и нас самих можно разделить на две равные половины. Всё, что растёт и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии. Эта же симметрия сохраняется у организмов, получивших возможность перемещаться. Хоть и без определённой направленности. К таким существам относятся морские звёзды и ежи.

Учитель биологии: На уроках биологии мы рассматривали с вами симметрию тела как закономерно расположение частей тела, относительно определённой точки (центра), прямой  на плоскости. Симметрия тела тесно связана с образом жизни. Для животных, свободно парящих в воде, характерна лучевая симметрия тела (солнечники, радиолярии). Животным, ведущим подвижный образ жизни, свойственна двусторонняя или билатеральная симметрия. У таких животных органы располагаются попарно вдоль главной оси, у них чётко выражены правая и левая стороны, верхняя и нижняя поверхности и передний и задний концы тела. При двусторонней симметрии тело обладает ясно выраженной осью, что сочетается с эволюцией обтекаемой формы. Нервная ткань и органы чувств сконцентрированы на головном конце тела, что даёт животному возможность обследовать данный участок, прежде чем переместиться туда. Такая симметрия характерна для большинства животных, ведущих подвижный образ жизни. Этой симметрией обладают все за редчайшим исключением представители шести классов группы позвоночных: бесчелюстных, рыб, амфибий, рептилий, птиц и млекопитающих. Она отчётливо проявляется и на древних давно вымерших, и на современных животных. Если животные ведут прикреплённый или малоподвижный образ жизни (губки, кишечнополостные, иглокожие), у них вырабатывается радиальная или лучевая симметрия, т. е. животных можно раздвигать в различных направлениях на 2 плоскости, зеркально отражающие одна другую. Эта же симметрия сохраняется у организмов, получивших возможность передвигаться хоть и без определённой направленности (морские ежи, звёзды)

Сообщение о лучевой симметрии

Лучевая симметрия характерна, как правило, для животных, ведущих прикреплённый образ жизни. К таким животным относится гидра. Если вдоль тела гидры провести ось, то её щупальца будут расходиться  от этой оси во все стороны, как лучи. Если рассмотреть лепестки ромашки, то можно увидеть, что они имеют тоже плоскость симметрии. Это далеко не всё. Ведь лепестков  много и вдоль каждого  можно провести плоскость симметрии. Значит этот цветок обладает многими плоскостями симметрии, и все они пересекаются в его центре. Этот целый веер или пучок пересекающихся плоскостей симметрии. Сходным образом можно охарактеризовать и геометрию подсолнечника, василька, колокольчика. Такая симметрия, как у ромашек, грибов, ели называется радиально-лучевой. В морской среде такая симметрия не препятствует направленному плаванью животных. Такой симметрией обладает медуза. Выталкивающая из-под себя воду нижними краями тела, похожими по форме на колокол(морские ежи, звёзды). Таким образом можно сделать вывод всё, что растёт или  движется по вертикали вниз или вверх относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии.
Самостоятельная работа в группах(4 человека)
Задания для самостоятельной работы:

Задание 1: Рассмотрите кишечнополостных. Какой тип симметрии для них характерен? На что внешне похожи данные животные? Какой образ жизни они ведут? Какое значение имеет данная симметрия для морских кишечнополостных?

Задание 2: Учёные провели интересный опыт. В две прозрачные трубки поместили проростки бобов. Одну трубку расположили в горизонтальном положении, а другую в вертикальном. Через неделю обнаружили, что только корень и стебель выросли за пределы расположенной трубки, корень стал расти  строго вниз, а стебель вверх. Почему? Почему подобные опыты не подтвердились космонавтами в космосе?

Задание 3:  Рассмотрите представителей отряда перепончатокрылых. Какой тип симметрии для них характерен? Какой образ жизни они ведут?

Задание 4: рис.10, 11, 12 Рассмотрите рисунки животных и растительных организмов. Выберите рисунки на которых организмы с лучевой и билатеральной симметрией. Чем отличаются двусторонне симметричные животные от животных с лучевой симметрией тела?

Задание 5: Почему активно передвигающиеся животные имеют двустороннюю симметрию тела, а многие животные, ведущие прикреплённый или малоподвижный образ жизни – лучевую?

Задание 6: Рассмотрите рисунок белой планарии. Какой тип симметрии имеет тело? Какой образ жизни ведёт данное животное? Каково значение данной симметрии?

Учитель биологии: Теперь мы подошли к тому, чтобы сформулировать общий закон ярко и повсеместно проявляющийся в природе. Всё, что растёт или движется по вертикали, т. е. Вверх или вниз относительно земной поверхности подчиняется лучевой симметрией. Всё, что растёт и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности подчиняется билатеральной симметрии.
С целью закрепления знаний учитель предлагает вопросы: чем обусловлена эта упорядоченность, пропорциональность, обоснуйте появление в процессе исторического развития симметрию животных.

Сообщение ученика

По данным науки первые многоклеточные животные появились в воде; они произошли от колониальных простейших – жгутиковых, похожих на вольвокс, и располагались в толще воды во взвешенном состоянии, и любое перемещение для них было бы безразлично. Поэтому можно допустить, что первые многоклеточные имели форму шара. По мере развития и усложнения организмов под действием силы тяжести они стали различать «верх» и «низ» и потеряли симметрию шара, животные, ведущие прикреплённый образ жизни, такие как гидра, приобрели симметрию, которая способствует ловле добычи и защите от врагов, появляющихся с любой стороны. Ось симметрии этих животных показывает направление силы тяжести.Те животные, которые способны передвигаться в каком-то избранном направлении приобрели двустороннюю симметрию тела. На её появление важное  влияние оказало как направление силы тяжести, так и направление движения животного. Для двустороннесимметричных видов характерно наличие двух примерно одинаковых частей тела, что помогает им сохранить равновесие, прямолинейно передвигаться, быстрее находить пищу.

10. Итог урока

– Сегодня на уроке мы систематизировали знания о симметрии и показали  значение симметрии в жизни растений и животных, тем самым сформировали целостное представление о симметрии.

11. Домашнее задание: составить паркеты симметричных фигур.