Математические фокусы не пользуется особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математики склонны рассматривать их как пустую забаву, фокусники пренебрегают ими как слишком скучным делом. Математические фокусы не принадлежат к той категории фокусов, которая может держать зачарованной аудиторию неискушённых в математике зрителей, такие фокусы обычно отнимают много времени, и они не слишком эффектны; с другой стороны, вряд ли найдётся человек, собирающийся черпать глубокие математические истины из их созерцания.

И всё-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть.

Математические фокусы – очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. В математических фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью. Если при учебном изложении стремятся к возможно большему раскрытию идеи, то здесь для достижения эффективности и занимательности, наоборот, как можно хитрее маскируют суть дела.

Фокусы? Да, а лучше сказать – эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, и лишь облечённые в несколько экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но точную математическую закономерность.

Много математических фокусов, в которых мелкие предметы используются просто как счётные единицы. Сейчас мы продемонстрируем несколько фокусов, для которых удобны счётные палочки.

Сколько палочек в кулаке?

Для показа этого фокуса нужна коробочка с 20 палочками. Показывающий, повернувшись спиной к зрителю, просит его вытянуть из коробка несколько палочек (не больше 10) и положить в карман. Затем зритель пересчитывает оставшиеся в коробке палочки. Допустим, их 14. Это число он "выписывает” на столе следующим образом: единица изображается одной палочкой, положенной слева, а четвёрка – четырьмя палочками, положенными несколько правее. Эти пять палочек берутся из числа оставшихся в коробке. После этого палочки, изображавшие число 14, тоже кладутся в карман. В заключение зритель вынимает из коробка ещё несколько палочек и зажимает их в кулаке.

Показывающий поворачивается лицом к зрителям, высыпает палочки из коробка на стол и сразу называет число палочек, зажатых в кулаке.

Объяснение. Чтобы получить ответ, нужно вычесть из девятки число палочек, рассыпанных на столе.

А сейчас продемонстрируем головоломку с числами, для демонстрации которых нужны карандаш, бумага, доска и кусок мела. Эти головоломки можно разбить на 3 основные категории:

а) основанные на быстром счёте;

в) с предсказанием результатов действий;

с) с отгадыванием чисел.

Волшебная таблица

(Этот фокус демонстрировала известная артистка психологических опытов Светлана Тимм).

На плакате записаны сорок восьмизначных чисел. Зритель называет номер числа, а отгадывающий называет число, которое записано под этим номером.

Объяснение.

Эти числа записаны так. К номеру числа прибавьте 9, возьмите для получившегося числа обращённое. Это будет число миллионов. Дальше вычислите сумму цифр получившегося числа миллионов. Число единиц (только единиц) этой суммы даст число сотен тысяч. Чтобы найти число десятков тысяч, вычислите сумму двух последних цифр и возьмите опять только единицы этой суммы. Также продолжайте и дальше.

Угадайте зачёркнутую цифру. Запишите любое трёхзначное или четырёхзначное число, состоящее из различных цифр. Написавший число имеет право как угодно переставить цифры этого числа. Получатся два числа: записанное вначале и получивщееся из него после перестановки цифр. Меньшее из этих чисел предлагается вычесть из большего, в полученной разности зачеркнуть одну цифру и вычислить сумму оставшихся. Эта сумма сообщается отгадывающему, и он говорит, какая цифра была вычеркнута.

Чтобы узнать, какая цифра была вычеркнута, отгадывающий поступает так: названную ему сумму цифр он дополняет до ближайшего большего кратного 9 (9, 18, 27, 39 и т. д.). Дополняющее число и даёт вычеркнутую цифру. Если сумма сама окажется кратной 9, то зачёркнутая цифра была 0 или 9.

Объяснение фокуса.

Остатки от деления числа и суммы его цифр на 9 равны. У двух чисел, записанных одними и теми же цифрами, остатки от деления на 9 равны и разность этих чисел делится на 9 без остатка. Чтобы найти вычеркнутую цифру, необходимо сумму оставшихся цифр дополнить до ближайшего большего числа, кратного 9.

Угадывание возраста и даты рождения.

Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остаётся прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст лист вам. Вы поступаете так: из получившегося числа вычитайте 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даёт возраст, вторая – число и третья – порядковый номер месяца рождения.

Объяснение.

Пусть m – порядковый номер месяца рождения, t – число этого месяца и n – число лет. Тогда ((( 100m +t) _*2+8)5+4)10+n+4=10 000 m+100t +n+444.

Ещё одна волшебная таблица.

В этой таблице написаны известным образом все числа от 1 до 31. Таблица это отличается следующим "волшебным свойством”.

Задумайте какое угодно число, не большее 31, и укажите, в каких столбцах этой таблицы находится задуманное вами число, а я тотчас же "угадаю” это число.

Секрет разгадывания с виду прост: обратите внимание на цифры, написанные в самой нижней графе. Если вам скажут, что задуманное число находится во 2-м, 3-м и 5-м столбцах, считая справа, то сложите числа, стоящие в этих столбцах внизу, получите 22 (2+4+16). Это число и задумано.

Как же составляется подобная таблица? Для составления таблицы взяли

1,2,4,8,16 (2⁰,2¹,2²,2³,2⁴), сложением которых можно получить все числа от 1 до31 (31=2⁵ -1). За каждым из них закреплён определённый столбец. Воспользовавшись этим свойством ряда степеней 2, мы помещаем каждое целое число в те столбцы, в основании которых стояли степени двойки, в сумме составляющие это число.

Так 27 попадает в столбцы с основаниями 1,2,8,16. Теперь ясно, почему для угадывания достаточно сложить числа, стоящие внизу столбцов.

Быстрое извлечение кубического корня.

Демонстрация фокуса с извлечением кубического корня начинается с того, что кого – нибудь из присутствующих просят взять любое число от 1до 100, возвести его в куб и сообщить вслух результат. После этого показывающий мгновенно называет кубический корень из называемого числа. Для того чтобы показать этот фокус, нужно сначала выучить кубы чисел от 1 до 10:

При изучении этой таблицы обнаруживается, что все цифры, на которые оканчиваются кубы, различны, причём во всех случаях, за исключением 2 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом, возводимым в куб. В исключительных же случаях последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб.

Покажем, как это используется для быстрого извлечения кубического корня. Пусть зритель назвал число 250 047. Последняя цифра этого числа 7, из чего следует, что последней цифрой кубического корня должно быть 3. Первую цифру кубического корня находим так: зачеркнём последние три цифры куба (независимо от количества его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди, – в нашем случае это 250. Число 250 располагается в таблице кубов между кубами шестёрки и семёрки. Меньшая из этих цифр – в нашем случае 6 – и будет первой цифрой кубического корня. Поэтому правильным ответом будет 63.

Быстрое извлечение квадратного корня.

Сначала запишем равенства:

Заметим, что

Цифра корня, стоящая в разряде десятков, устанавливается с помощью этих равенств.

Пусть эта цифра есть a. Из равенств ясно, что цифра корня в разряде единиц не восстанавливается однозначно по последней цифре квадрата. Однако положение облегчается, если известно, что эта цифра больше или равна 5. Узнать это возможно, сравнив данный квадрат ах² с числом а5² . При "угадывании” корня число а5² приходится вычислять устно. Например, пусть ах² = 2 209. Выясняем: 4² <= 22 <= 5², значит, 4 десятка. 45² = 2 025 < 2 209, так что корень больше 45, значит, цифра в разряде единиц больше 5. Значит, она равна 7, т. е. ах = 47.

Фокусы с прикосновениями.

Волшебная карта цветов.

Зритель задумывает цветок, и показывающий начинает перебирать карандашом цветы. При каждом прикосновении зритель называет про себя одну букву из названия выбранного цветка и произносит вслух: "стоп” когда его слово будет исчерпано. Указка и будет остановлена около задуманного цветка. Первое прикосновение делается у фиалки, далее обходятся цветы против часовой стрелки через один.

Задумайте животное.

Зритель задумывает какое-нибудь животное, изображённое на рисунке, и произносит про себя название его по буквам, в то время как показывающий дотрагивается до рисунка. Начав с жеребёнка, он переходит затем вверх по линии к гиппопотаму и так продолжает обход всех животных, двигаясь в направлениях, указываемых линиями, пока зритель не дойдёт до последней буквы своего слова и не скажет "стоп”.

Линии идут так: от льва к слону, от слона к цапле, от цапли к корове, от коровы к носорогу, от носорога к обезьяне, от обезьяны к жеребёнку, от жеребёнка к гиппопотаму, от гиппопотама ко льву.

Фокус шестью квадратиками.

Шесть квадратиков покрашены в различные цвета, на них записаны числа: красный - 101, оранжевый - 42, жёлтый - 45, зелёный – 13, голубой - 16, синий - 19.

Квадратики раскладываются числами вниз. Зритель задумывает одно из этих чисел. Показывающий поворачивается и начинает притрагиваться указкой к квадратикам. Зритель же в это время произносит про себя побуквенно своё число так, чтобы на каждое прикосновение приходилось по одной букве. Когда все буквы замеченного числа будут исчерпаны, он произносит: "стоп”. Квадратик переворачивается, и зрители видят задуманное число.

Объяснение.

Первые шесть прикосновений делаются в произвольном порядке. Следующие шесть – в такой последовательности: "каждый охотник желает знать где сидит...”

101 42 45 13 16 19

Этот фокус получает благодаря тому, что запись числа 101 содержит 7 букв, а запись каждого из следующих чисел – одной буквой больше.

Топологические фокусы .

Топология – новая область математики; трудноуловимый предмет математики. Топологии трудно дать определение. Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики.

Кажется почти правильным утверждение, что топология представляет собой особое состояние ума и преследует свои собственные цели.

В некотором смысле слова топология это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется теми свойствами "предметов”, которые наиболее устойчивы, т. е. которые выдерживают деформации сжатия и растяжения. Значение топологии огромно, потому что благодаря ей можно решать самые разные проблемы. Одна из важнейших областей применения топологии – проектирование автострад и их пересечений. Например, на загружённом перекрёстке машины должны иметь возможность менять направление своего движения, не пересекая путь другим машинам.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию.

Следующие фокусы по методу показа могут рассматриваться как топологические.

Бумажные кольца

(Эти фокусы используются вот уже 75 лет).

Хорошо известный "лист Мёбиуса”, названный по имени Мёбиуса, немецкого астронома и пионера – тополога, впервые описавшего эту поверхность, используется на протяжении многих лет для многих фокусов. В одном из них показывающий вручает зрителю три больших кольца, каждое из которых получилось путём склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое кольцо получилось путём простого соединения концов ленты, без перекручивания. Второе кольцо (его называют листом Мёбиуса) получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180?. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая её вдоль посередине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в одну треть ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцеплённое с ним маленькое.

Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, т. е. на 360?.

Существует ещё много других топологических фокусов с носовыми платками, со шнурами, с жилетами и другие.

Наши "математические фокусы” закончились. Надеемся, что некоторые из вас смогли понять суть фокусов. Если же не все фокусы вы смогли разгадать, то можете сами восстановить алгебраическую или геометрическую идею фокуса, использовав и прочитав следующую литературу:

1) Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Издательство "Наука”, 1986 г.

2) Лэнгдон Н. В мире математики и калькуляторов. Москва "Педагогика”, 1990 г.

3) Журнал "Математика в школе”, №3 1988 г.

4) С.И.Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. Москва "Наука”, 1985 г.

5) Е.И. Игнатьев. В царстве смекалки. Москва "Наука”, 1984 г.

6) Ф.Ф.Нагибин. Математическая шкатулка. Москва "Просвещение” 1984 г.

7) Журнал "Квант” №11 1991 г.