1. Школа мудрости. 

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства - музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Пространственное представление, столь необходимое ученику в овладении письмом, столь же важно и в математике. Из-за его отсутствия дети не могут подписать в столбик цифры при арифметических действиях, правильно понять условие задач, особенно на время, скорость и расстояние, ошибаются в устном арифметическом счете.

Математический подход.

При дальнейшем обучении у таких детей обнаруживается неспособность следить за правильной последовательностью выполнения арифметических действий, например, сложение и вычитание производить только после выполнения умножения и деления. А когда наступает время знакомства с геометрией, попытки одолеть ее полностью терпят крах, потому что овладение этим предметом без пространственного представления невозможно. Кроме того, школьники часто делают математические ошибки из-за того, что не владеют математическими символами: они не могут следить за v математическими знаками «+» и «-», путают знак «<» со знаком «>». Музыка помогает преодолеть эти затруднения на самом начальном этапе, так как знание музыкальной символики приучает к владению обозначениями любыми, в том числе и математическими.

2. Уровни музыкальных рассуждений.

Разговоры о музыке могут происходить на различных уровнях в зависимости от того, какие процессы нас интересуют: физические, психологические, культурные и т.д. Очень важно понимать, на каком уровне ведутся рассуждения. Мы определим следующие уровни.

Физический. Музыкальные звуки являются периодическими колебаниями воздуха. Поэтому их можно изучать методами физики. Многие феномены более высоких уровней сводятся к физическому (находят свое объяснение в физике звука).

Биологический. На этом уровне звуки интересны нам постольку, поскольку они воспринимаются, интерпретируются и воспроизводятся человеком. Здесь возникают определенные ограничения (диапазон воспринимаемых частот, точность определения частоты и т.д.), оценки звуков (и прежде всего мелодий) как благозвучных или нет (нравится/не нравится). Закономерностями именно этого уровня являются сложившиеся формы музыкальных инструментов – их делают так, чтобы человеку было удобно играть.

Культурный. Несмотря на то, что все люди – Homo Sapiens, в разных культурах возникают различные музыкальные традиции. Различия наблюдаются как между этносами (или суперэтносами – говорят о западно-европейской музыке, славянской музыке, и т.д.), так и между различными уровнями развития общества (отсутствие четких понятий о высоте в древности, напевание одного определенного звука – устоя, возникновение все более сложных ладовых систем). Даже звукоряд в разных культурах разный, например, некоторые восточные народы делят полутон на более мелкие интервалы.

Математический. Математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Могут ли чисто математические результаты иметь интересную интерпретацию в музыке, является для автора спорным. Пифагор, по распростаненной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам. Мы же будем к таким идеям подходить более осторожно.
Как обычно – четких границ между уровнями нет. Одно и то же явление может простираться через несколько уровней. Почему, например, интервал октава звучит для человека очень приятно? Можно представить это как аксиому биологического уровня, а можно свести к физическому: звуки, различающиеся по частоте вдвое, дают то же множество обертонов, что и нижний из них. Поэтому они практически сливаются. А математически октава описывается числом 2, которое является наименьшим простым числом. На любом уровне, однако, существуют явления, несводимые к предыдущему уровню

3. Физические основы звука

Звук есть воспринимаемые человеческим слухом колебания воздуха. Музыкальные звуки порождаются музыкальными инструментами (в этом смысле человеческий голос тоже условно причисляется к музыкальным инструментам). Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков является колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов (не только струнных, но и, например, клавишных). Рассмотрим и мы колеблющуюся струну, чтобы узнать, что же за колебания воздуха она порождает.

Уравнение колебания струны

Колебания струны изучали ещё пифагорейцы. Они использовали для этого несложный прибор под названием монохорд, представляющий из себя единственную струну, закрепленную в двух точках над резонатором.
Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое волновое уравнение (породившее новую область в науке - математическую физику):

Здесь - время; - координаты некой точки на струне в момент времени ; - функция отклонения точки в момент времени от положения равновесия; - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны; - сила натяжения струны; - плотность однородной струны. Предполагается, что струна совершает малые колебания в одной плоскости.
Решением уравнения является бесконечная сумма стоячих волн.

Каждая функция un представляет собой гармоническое колебание с частотой и фазой , где l – длина струны.Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами. Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются пучностями стоячей волны.

Вернёмся к музыкальной интерпретации:

Именно сочетание обертонов даёт музыкальную окраску звуку - его тембр. Если слегка прикоснуться к струне в некоторой точке, то все гармоники, имеющие в этой точке пучность, будут погашены и не будут слышны. Так можно явно услышать вклад обертонов в общий тембр звука.  

Интервалы

Итак, мы теперь рассматриваем звуки, обладающие некоторой основной частотой . Обертонами мы обычно будем пренебрегать, кроме некоторых случаев, когда они важны.

В музыке нам интересен не конкретный звук в отдельности, а соотношения звуков друг к другу. Под интервалом понимается расстояние между двумя звуками. При этом нижний звук (с меньшей частотой) называется основанием интервала (), а верхний звук (с большей частотой) – его вершиной (f2). Расстояние можно измерять по-разному, поэтому существуют разные понятия интервала, которые, иногда, одинаково обозначаются в музыке, что привносит путаницу. На физическом уровне у нас есть только частоты. Акустическим интерваломинтервальным коэффициентом) между двумя звуками назовем частное от деления частоты вершины на частоту основания: (или

Примой называется акустический интервал, равный 1 (т.е. тривиальный интервал), октавой - 2, чистой квинтой – 3/2, чистой квартой – 4/3.

Осторожно: на других уровнях рассуждений те же названия интервалов имеют совершенно иной смысл!

Интервал, не превосходящий 2, называется простым, больший 2 – составным. Обращением интервала λ называется величина 2/λ. Очевидно, что произведение интервала и его обращения дает октаву.
В дальнейшем при построении музыкального звукоряда будут использоваться октавы и квинты. Объяснение этому можно искать, например, в теории обертонов. Если говорить о струне, то прима – это первый обертон (совпадающий с основным тоном), октава – второй, а квинта – третий. Эти интервалы и звучат для человеческого уха наилучшим образом (но здесь мы забегаем вперед).

Обозначения звуков

На данном уровне можно обозначать звуки лишь их абсолютной частотой в герцах (Hz) или же, если выбрать один из звуков за точку отсчета, можно сопоставить каждому другому звуку интервал от точки отсчета, исчисляемый как частное от деления частоты звука на частоту точки отсчета. Такой подход позволяет абстрагироваться от конкретных частот (оставить это как задачу калибровки) и изучать лишь соотношения между звуками.

4. Биологические основы звука

Поскольку нас интересуют не колебания вообще, а лишь воспринимаемые слухом человека, то следует ввести здесь определенные ограничения.

Во-первых, слухом воспринимаются не любые частоты, а лишь лежащие внутри определенного диапазона. Человек слышит звуки от 10-20 Hz до 20 KHz. В музыке используется лишь часть этого диапазона.

Во-вторых, способность человека различать звуки разной частоты составляет Δf/f = 0,003…0,004. Это будет, например, на 1000 Гц при уровне 80 дБ порядка 3 Гц. Полутон (который будет введён позже) – это и есть минимальный интервал, ещё различимый человеком (или лишь минимально превышающий такой интервал). В некоторых культурах используется, правда, еще более мелкое дробление.

В-третьих, лишь меньшинство людей обладают абсолютным слухом, т.е. способны различать звуки по их частоте. Большинство же способны различать лишь интервалы между звуками, т.е. обладают относительным слухом.

И, наконец, в-четвертых, связь ощущаемой высоты звука с частотой является функцией нелинейной и воспринимается пропорционально логарифму частоты (закон Вебера-Фехнера). Это означает, что характеристикой интервала является не разность частот, а их частное. К примеру, звуки с частотами 440, 880 и 1760 Гц кажутся равноудаленными.

В музыке принято говорить не о частоте звука, а о его высоте, которая является логарифмом частоты колебаний.
На биологическом уровне можно поделить уже введенные интервалы на консонансы и диссонансы. Консонансом называется слитное, согласное звучание двух тонов. В противовес этому диссонанс – это звучание тонов, «не сливающихся» друг с другом, неблагозвучный интервал.

Консонанс выражается математически простыми численными соотношениями звучащих частот, а физически – лучшим совпадением обертонов обоих звуков. В этом смысле, однако, различие между консонансом и диссонансом лишь качественное. А человеческое восприятие делит интервалы на «хорошие» и «плохие».                     

Основные музыкальные характеристики, такие как музыкальный звукоряд, тональный ряд, и т.д.строятся на основе различных числовых соотношений.

5. О соотношении математического обоснования и психологического воздействия музыки

1. Музыка как звучащее тождество рациональных порядков и возможность обоснования аффектов в пропорции

"... чтобы живопись могла развивать такие же силы, какими обладает музыка", эта мечта Кандинского сбылась в 1910 году, когда в своих картинах он отказался от копирования вещественного мира и перешел к чистому изображению гармонии форм и красок.
Названия его картин: композиция, ритм, импровизация, концерт и фуга — указывают на музыкальные, хотя и не акустические представления.

Абстрактная живопись является порождением движения, начавшегося примерно в 1800 году, его целью была музыкализация изобразительного искусства и поэзии; это движение ототвинуло на второй план специфику отдельных жанров искусств ради общих структурных свойств, позволивших провести аналогию с музыкальными явлениями.
"Звук за звуком", таково название стихотворения Йозефа фон Эйхендорфа; Штефану Георгу казалось, будто он сочиняет стихи как музыку, при этом он утверждал, что ценность поэзии определяется лишь формой того волнующего, что заключено в размере и звуке.

Предпосылкой для возможного обобщения музыки явилась высказанная однажды Карлом Филиппом Моритцем идея, что искусство представляет космос и поэтому является автономным. Но, с другой стороны, на это скорее может претендовать лишь самый абстрактный всех жанров искусств — музыка, которую можно понимать как звучащее тождество вечной гармонии.
"Музыкальные соотношения являются собственно основными соотношениями в природе". Эта точка зрения Новалиса полностью совпала с лекциями Шеллинга по философии и искусству (1802-1803 гг.), где он утверждал: "В солнечной системе также отражается вся система музыки".

Музыка как проявление высших логических порядков — это абстрактное понятие музыки в 1800 г. было новым; но в то же время такое толкование вероятно было отражением древних представлений о музыке, и в качестве подтверждения этого можно привести начало "Фауста" Гёте или другие ссылки романтиков на понятие небесных звуков.
В связи с вопросом о соотношении рациональности и аффекта не столь важно уточнять исторические корни этого понятия музыки, сколько проверить совпадение с другими точками зрения, что может показать в некоторой степени ту сложную изменчивость, которая делает музыку, с одной стороны, абстрактно-логично действующим, а с другой стороны, самым эмоциональным видом искусства.

Эмфатическое понимание соотношений в музыке как абстрактного системного строя, являющегося отображением основных соотношений в мире, встречается также в древности и в средние века.
Абстрактным было понимание музыки в духе Пифагора и Платона, ведь оно подразумевало именно математическое описание.
Казалось, что лежащая в основе музыки система регулируется числовым порядком, причем простые числовые соотношения занимали особое место. Они не только регулировали образование тетрахордов и тональностей, но и скорее представляли собой всеподчиняющий метафизический принцип, который позволял проводить любые аналогии.

Попытку описать движение планет, принимая во внимание музыкальные пропорции, как это пытался сделать еще Кеплер в 1610 г., следует отнести к античным временам, хотя уже Аристотель оспаривал, что небесная музыка по-настоящему звучит.
Обоснование музыки с помощью числа в средние века, когда умение Пифагора продолжал развивать в основном Боэций, возвело занятие музыкой в абстракцию, так как реально звучащая музыка считалась неинтересной, но наряду с этим признавалась возможность научного подхода к понятию ее сущности.  

Практически заниматься музыкой, как и столярным ремеслом, считалось ars faciendi, т.е. этим искусством мог овладеть каждый, освоивший сумму тезисов.
Музыка, одно из семи видов искусств, входила в квадривиум наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Она представляла Содержание, доступное лишь уму, т.е. связанное с чисто умственной деятельностью, и в отличие от арифметики охватывала не устойчивые, а подвижные числовые отношения.
Искусственное в музыке проявлялось в методе вычислений (например, определение консонанса). И на основе того, что музыке можно было найти чисто теоретическое математическое определение, она представлялась вплетенной во всю Вселенную.
"Musica instrumentalis" — непосредственно звучащая музыка, была отображением "musica mundana" — гармонии мира, а "musica humana" — упорядоченных пропорций человеческого тела.
"Музыкальные соотношения казались действительно основными соотношениями в мире". Созерцательное погружение в математическую структуру звуковой системы привело к небесной механике.

Число как уточняющий инструмент вновь приобрело значение в эстетических воззрениях XX в. С помощью него новая музыка могла реализовать возросшее требование рациональности, которое могло стать нормой отношений вообще. Додекафонические произведения, где математические действия использовались для построения созвучной интегральной композиции, возникли из желания создать путем логических расчетов порядок в хаотичном мире.
Подведем итог: идея системного порядка, в которой сравниваются музыкальные отношения гармонии с земными, все вновь и вновь появляется в эстетических воззрениях.

И в очень разных, отдаленных большими промежутками времени культурных связях, пытались выразить эти гармонии постоянными числами с целью показать, что логика математики объясняет логику мира и в том числе музыки.
Такие математические обоснования возводятся в ранг метафизической инстанции. В звуковой форме музыкальной пьесы также находит свое выражение этот принцип.
Та мысль, что музыка является воплощением логического порядка, не всегда подразумевала ее музыкально-слуховое воздействие. Скорее проявляются очень принципиальные различия: с одной стороны, было ли вообще стремление к эмоциональному воздействию, и, с другой стороны, в какой степени обоснование волнующего воздействия музыки было возможно с помощью логических структур.

Так как в древние времена и в средние века предполагали, что человеческие органы подчиняются тем же принципам, что и музыка, было легко развить теорию о воздействиях, которая очень точно определяла структуру аффекта, например в сфере тональности, в зависимости от пропорций.

Важность этой теории подтверждается дискуссией о выразительности тональностей в тональной музыке. И так как числа понимались не как математический, а как метафизический принцип, их можно было считать предваряющими эмоциональное воздействие.
Однако по мере того как такие убеждения ослабевали, musica humana и istrumentalis уже не соотносили с musica mundana, отождествление пропорций и эмоционального воздействия стало проблематичным до такой степени, что в XX в. музыка в своих эстетических намерениях дошла до чистого расчета и не могла уже ни выражать аффекта, ни вызывать его.

И именно музыка, которая оказывала самые интенсивные эмоциональные воздействия, музыка XIX в., хотя еще и рассматривалась как система совершенных отношений, однако эта система уже больше не объясняла психологического воздействия, а наоборот, ее обоснованием служили психологические данные.
Музыка периода классицизма и романтизма уже почти не могла объяснить логическое действие взаимосвязей простыми математическими пропорциями. Даже трезвучие в темперированной системе, явившееся предпосылкой для развития иструментальной музыки, считалось очень смелой заявкой.
Характер этой музыки как тождества рационального порядка определялся чувством хорошо взвешенной гармонии и симметрическими группировками, т.е. в отличие от античных смен рациональность звуковой системы обосновывалась аффектом.

Музыкальная логика — Иоганн Николаус Форкель использовал в 1788 г. это выражение впервые — предстает как осмысление взаимосвязей и отношений. А сложные отношения, которые воспринимались в то же время как выражение совершенного порядка — и в этом превосходили все придуманные людьми абстрактные системы, — представляли музыку как метафору вселенной.
Музыкальная звуковая система не могла быть порождением какой-либо другой, в том числе и математической системы, а наоборот, другие системы были заимствованы у музыки.
Утрируя, можно сказать, что не музыка, дающая впечатление абсолютного, нуждалась в обосновании, а спекуляции с теорией чисел, которые со своей стороны не подкреплялись больше метафизическим принципом.
И какие бы параллели ни проводились между абстрактным понятием музыки периода романтизма и более ранними и поздними периодами, с идеей абсолютной музыки исчез и принцип, который объяснял ее эмоциональное воздействие и ставил аффекты в зависимость от рациональности.

Высказывания знаменитостей.

Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства её должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.  Плутарх

Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного   мыслительного процесса. Альберт Эйнштейн

Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.  Готфрид Лейбниц

 Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет ещё существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут всё ещё служить источником новых музыкальных мыслей.  Пётр Чайковский   

Чрезвычайная бедность, шаткость и разрозненность существующих основ музыкальной эстетики побуждает нас пытливо всматриваться во всякое закономерное явление, относящееся к этой области, в надежде приподнять хотя бы уголок изидовой завесы, скрывающей от нашего умственного взора таинственные творческие законы природы.  Э.Розенов

Она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов - остроты современников по поводу «новой теории музыки».Леонард Эйлер 

Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства. Генрих Нейгауз

Опрос учащихся   ГОУ СОШ № 1161 «Зачем нужна математика в музыке?»