Изучение двух новых арифметических действий - умножения и деления - является основой курса математики второго класса. Так написано в пособии для учителя к учебнику "Математика - 2" И. И. Аргинской. И с этим трудно не согласиться. Нельзя тему "Умножение" сводить к запоминанию, заучиванию таблицы. Безусловно, учащиеся должны овладеть таблицей умножения до автоматизма, но идти к этому надо не через шаблонные упражнения, бездумное заучивание, что, естественно, вызывает негативное отношение учащихся к процессу обучения. Первый шаг глубокого, осмысленного понимания - это раскрытие конкретного смысла действия умножения, осознание связи умножения с уже хорошо знакомым действием сложения. А для этого мало таких заданий, как "замени сумму произведением чисел", "замени произведение суммой чисел". Они в меньшей степени побуждают мыслить ребёнка.  Творческая деятельность, гибкость мышления возможны в нестандартных условиях, об этом следует помнить учителю и предлагать такие задания, при решении которых необходим самостоятельный перенос знаний и способов действий в новое условие, использование их в новых ситуациях. Задача учителя: поставить своей целью - вызвать заинтересованность детей, помочь им увидеть закономерности - "секреты" таблицы умножения.
     Работа над раскрытием конкретного смысла действия умножения начинается с выделения тех сумм, которые можно заменить умножением.
     Учитель предлагает следующие задания:

 

1.     6 6 6          15 15 15 15          2 6 8
       11 23 17     26 26                         9 9 9 9 9
       10 14 36     7 1 9                       50 50

     На какие группы можно распределить данные выражения?
     Возможные ответы детей:
- выражения, состоящие из однозначных чисел, и выражения, состоящие из двузначных чисел;
- выражения, состоящие из одинаковых слагаемых и из разных слагаемых;
- выражения, состоящие из чётных чисел и из нечётных чисел.
     Учитель: Устно перечислим все группы, которые вы назвали, а запишем только с одинаковыми слагаемыми.

2.     50 5 50 5 50 5          4 6 3 1
        1 11                            5 5 5
        50 50 50                     3 3 5 5 5

     Выпишите те суммы, которые можно заменить умножением. Если никто из учащихся не предложил на первых уроках такой вариант:

50 5 50 5 50 5= 50 х 3 5 х 3
3 3 5 5 5= 3 х 2 5 х 3,

то целесообразно вернуться к этому заданию на последующих уроках.
     Чтобы увести детей от шаблонного восприятия, можно предложить следующее задание.

Фрагмент урока

3. Сравни: 5х4 и 5 10 5

Дети: Между этими выражениями надо поставить знак "равно".
Учитель: Как вы думаете, почему левая часть равна правой? Случайно ли это, или здесь есть какая-то закономерность?
Дети: 5х4 - это по 5 взять 4 раза, а в правой части по 5 взяли 2 раза и еще 10=5 5.
Учитель : Составьте суммы по такому же принципу: с разными слагаемыми, но которые можно было бы заменить умножением. Поменяйтесь тетрадями друг с другом и замените суммы умножением. Те, кто сумму заменить произведением не смог, в силу того, что не понял, как это сделать, или его сосед по парте неправильно эту сумму записал, записывают на доске для обсуждения всем классом возможного решения.

4. Запишите сумму, в которой число 3 повторяется слагаемым 5 раз. Замените сложение умножением. Что показывает первое число в произведении? А что показывает второе число? Найдите значение произведения, используя действие сложения. Поменяйте в произведении местами множители. Что обозначает новая запись? Замените в ней умножение сложением. Найдите значение произведения и суммы.
Такое задание не только подводит к более полному осмыслению того, что обозначает первый множитель, что обозначает второй множитель, что необходимо при замене произведения суммой, а также что будет наиболее значимым при решении текстовых задач на раскрытие конкретного смысла действия умножения, когда первым множителем мы записываем одну часть, а вторым количество таких частей. Кроме того, уже при выполнении этого задания дети могут сделать вывод о переместительном свойстве умножения.

Следующее задание также работает на более осознанное понимание конкретного смысла действия умножения.
5. Сравни:

а x 6                и     а x 9 - а - а x 2
c х 8 c          и     c х 2 c х 3 c х 2
6 х c 3 х c     и     c х 9

В данном задании заменяем умножение сложением. При замене выражения а x 6 необходимо воспользоваться переместительным свойством, выполняем дальнейшие действия и сравниваем полученные выражения.
Следующий шаг - таблица умножения. Таблицу умножения дети не получают в готовом виде, а составляют сами. Первый столбик таблицы умножения они получают из таблицы сложения, выбирая суммы с одинаковыми слагаемыми.

1 х 2 1     4 х 2 4     7 х 2 7
2 х 2 2     5 х 2 5     8 х 2 8
3 х 2 3     6 х 2 6     9 х 2 9

Анализируя данные выражения, сравнивая их друг с другом, учащиеся получают новый столбик таблицы. Аналогично учащиеся получают все остальные столбцы, самостоятельно решают, какие равенства можно вычеркнуть, так как они дублируют друг друга.
Но и после того, как дети составили таблицу и приступили к её заучиванию, нельзя прекращать работу над выявлением её закономерностей, поскольку дети должны усвоить, что любое значение в таблице всегда связано с другим.

Фрагмент урока

6.     5 х 7     9 х 7     3 х 7     7 х 7     2 х 7     6 х 7

Учитель: Посмотрите внимательно на выражения. Что вы о них можете сказать?
Дети : Во всех выражениях один множитель равен 7.
Учитель: Не выполняя умножения, запишите их в порядке возрастания значений произведений.
Дети: Зная, что чем больше множитель, тем больше значение произведения, расположим:

2 х 7     3 х 7     5 х 7     6 х 7     7 х 7     9 х 7

Учитель: Найдите значения произведений, сравните их между собой.
Дети: 14 меньше 21 на 7, 21 меньше 35 на 14, 35 меньше 42 на 7, 42 меньше 49 на 7, а 49 меньше 63 на 14.
Учитель: Почему значение произведения увеличивается не везде одинаково?
Дети: Потому что первый множитель не везде одинаково увеличивается:
2, 3, 5, 6, 7, 9.
Учитель: Сделайте так, чтобы увеличение значений произведения было одинаково.
Дети: Надо записать равенства с первыми множителями 4 и 8:

4 х 7 = 28     8 х 7 = 56

Тогда все значения произведений будут увеличиваться на 7.
Учитель: Кто может предложить другой способ выполнения этого задания?
Дети: Можно сделать, чтобы значения произведений увеличивались на 14, для этого надо, чтобы первые множители увеличивались на 2:

3 х 7 = 21     5 х 7 = 35     7 х 7 = 49     9 х 7 = 63

Учитель: Запишите в тетрадь оба способа.
Следующее задание даст возможность применить выявленную закономерность на практике.

7. Найдите значение второго выражения с опорой на первое равенство:

15 х 5 = 75     17 х 5 = 85     13 х 4 = 52
15 х 6 =...       16 х 5 = ...     13 х 6 = ...

Дети: В первом равенстве по 15 взяли 5 раз, а 15 х 6 - на один раз больше, значит, к 75 прибавим 15, получим, что 15 х 6 = 90.
Дети : Во втором столбике первый множитель уменьшился на 1, так как второй множитель показывает, что число взяли 5 раз, значит, значение произведения уменьшится на 5, 85 - 5 = 80, следовательно, 16 х 5 = 80.
Дети : По 13 взять 4 раза, получается 52, а по 13 взять 6 раз это на 2 раза больше.
13 13 = 26, значит, значение произведения увеличивается на 26, 52 26 = 78, следовательно, 13 х 6 = 78.
Учитель : А если бы первых равенств не было, как бы мы смогли найти значения?
Дети: Мы заменили бы суммой чисел и вычислили.
Таблица умножения должна давать детям уверенность, а не страх, поэтому будет не лишним напоминать через разнообразные задания, что, в крайнем случае, они могут всегда прибегнуть к сложению. Большую роль в решении этого вопроса играют уравнения:

a a a a = 45 х 4

Сумму можно заменить произведением a х 4, в получившемся равенстве один множитель одинаковый, значит, a = 45.

1) a a a a = b b b

     Заменим суммы произведениями: a x 4 = b х 3. Обратимся к таблице умножения на 3 и 4 и найдём одинаковые результаты: 12, 24.
     Следовательно, а = 3, b = 4 или a = 6, b = 8.
     При возвращении к этому уравнению дома, возможно, кто-то предложит и другое решение, например, a = 15, b = 20.
     Можно дать творческое задание, найти в таблице умножения одинаковые результаты, полученные разными множителями и составить свои уравнения.
     Например:

x x = y y y y          x = 8, y = 4
a a = b b b          a = 9, b = 6
c c c c c c = n n n n          c = 6, n = 9

2) a 3 9 = 3 х 5

     При решении этого уравнения одни учащиеся предложат упростить правую часть и воспользовавшись правилом, найти неизвестное слагаемое.
     Другие же заметят, что 9 состоит из трёх троек, и сделают вывод, что х = 3. Второй способ предпочтительнее.

3) b b = b х b

     Сложение одинаковых слагаемых можно заменить произведением у*2.
В результате получим: b х 2 = b х b, значит b = 2.

4) a х 3 a х 5 = 24

     Такое уравнение можно предложить учащимся до изучения правила умножения суммы на число.
     Произведение a х 3 заменим суммой a a a, произведение a х 5 заменим суммой a a a a a, сложим и заменим произведением a х 8 = 24.
Такое уравнение учащиеся решают, пользуясь взаимосвязью действий умножения и деления.
Для более глубокого видения этой взаимосвязи можно предложить детям следующие уравнения:

a : 84 х 84 = 32
25 х 3 : a = 25

При нахождении корня уравнения опираются на полученный ранее опыт: что если выполнить взаимообратные действия, то получим то же число, что и было ранее.
В качестве одного из примеров работы над изучением закономерностей таблицы умножения можно предложить следующий урок.

Ход урока

Тема: Таблица умножения на 9.
Цели: раскрыть закономерности таблицы умножения на 9, работа над взаимосвязью действий умножения и деления.

1. Работа над запоминанием таблицы умножения.
Учитель: Кто из учащихся будет сегодня проводить математический диктант? Кто считает, что он уже хорошо знает таблицу умножения? Ведущий будет называть значение какого-либо произведения, а вы будете называть множители, которые надо взять, чтобы получить данный результат.
Ведущий: 21.
Дети: 7 и 3.
Ведущий : 16.
Дети: 2 и 8, 4 и 4.

2. Работа над таблицей умножения на 9.
Учитель: Запишите произведения, в которых первый множитель 9 и запишите их значения. Какие равенства у вас получились? Легко ли вы нашли значения?
Дети: Да, мы уже почти все случаи учили, кроме 9*9.
Учитель : Как нашли значение этого произведения?
Дети: По 9 взять 9 раз.
Дети: Это долго. Надо к 72 прибавить 9.
Учитель: Посмотрите внимательно на получившиеся равенства и скажите, что интересного вы заметили?
Дети: Все значения двузначные.
Дети: Сумма цифр в значении произведений равна 9.
Дети : Первая цифра в значении на один меньше, чем второй множитель.
Учитель : Как вы думаете, почему так?
Дети: Если бы по 10 взяли, например 3 раза, то было бы 3 десятка. А так как не по 10, а по 9, то и получается не три десятка, а только два.
Дети : 9 меньше 10 на один. До трёх десятков не хватило 3 единицы - три раза по единице. И так же во всех равенствах, например, 9*8 - это 80 без 8.

3. Работа над взаимосвязью действий умножения и деления.
Учитель: Молодцы, много секретов увидели. Подчеркните то равенство, которое вам следует запомнить. Какие ещё равенства можно записать к этому?
Дети: 81: 9 = 9, множители одинаковые и переставлять их местами не имеет смысла.
Учитель: Запишите произведение чисел 9 и 8, найдите его значение. Составьте и запишите уравнения, для решения которых вам поможет это равенство.
Дети:

a : 9 = 8     a х 9 = 72     8 х a = 72
72 : a = 9     72 : a = 8

Учитель: Как поможет равенство 8*9 = 72 при решении последнего уравнения?
Дети: Если произведение разделить на один множитель, то получим другой.
Учитель: Решите любое уравнение.

4. Работа над задачей.
Мама купила яблоки. Она раздала яблоки поровну трём детям. Сколько яблок купила мама?
Дети: Эту задачу решить нельзя. Она с недостающими данными. Здесь неизвестно, сколько яблок получил каждый ребёнок.
Учитель : Давайте преобразуем задачу.
Дети: Мама купила яблоки. Она раздала яблоки трём детям по 6 яблок каждому. Сколько яблок купила мама?
Учитель : Каким действием будем решать задачу?
Следует отметить, что слово "раздала" вводится в задаче провокационно, чтобы у детей не возникло соблазна выбирать действие при решении задачи интуитивно.
Дети : Умножением, так как находим самое большое число: сколько всего было яблок.
Учитель : Запишите решение этой задачи.
Учитель: Как ещё можно преобразовать эту задачу?
Дети: Можно добавить недостающее данное и изменить вопрос.
Учитель : Давайте преобразуем задачу в обратную ей.
Дети : Мама купила 18 яблок. Она раздала яблоки трём детям. Сколько яблок получил каждый?
Учитель : Каким действием будем решать обратную задачу?
Дети : Делением, потому что находим, сколько яблок в одной части (досталось одному ребёнку).
Дети : Задача обратная, значит и решение будет обратное. А умножению обратное действие - деление.
Учитель : Запишите решение этой задачи.
Учитель: Сколько ещё обратных задач можно составить?
Дети : Только одну.
Учитель : Это будет ваше домашнее задание. А сейчас послушайте ещё одну задачу.
В магазин привезли книги. В трёх пачках было 24 книги.
Дети : Это не задача. В ней нет вопроса.
Учитель : Какой вопрос можно задать?
Дети : Сколько книг в одной пачке?
Учитель : Как ответите на этот вопрос?
Дети : 24 : 3 = 8 книг в одной пачке.
Учитель : А как узнать, сколько книг в 4 пачках?
Дети : Надо по 8 взять 4 раза, получим 32 книги в 4 пачках.
Дети : Можно другим способом: если в 3 пачках 24 книги, а в 1 пачке 8 книг, то в 4 пачках на 8 книг больше 24 8 = 32.
Эту задачу в тетрадях учащимся можно не записывать, она имеет на данном этапе пропедевтическое значение. Однако, хорошо, если дети увидят закономерность увеличения результата на такое количество, сколько книг в одной пачке.

5. Геометрический материал.
Учитель : Начертите отрезок АВ, равный 12см. Что вы должны помнить, чтобы выполнить это задание?
Дети: Отрезок - это часть прямой, ограниченная с двух сторон. Обозначаем его большими латинскими буквами.
Учитель : Как найти, чему равна сторона квадрата, если весь отрезок - это его периметр?
Дети : Периметр - это сумма длин всех сторон. У квадрата четыре равные стороны, значит весь отрезок делим на четыре равные части. 12 : 4 = 3см сторона квадрата.
Учитель : Начертите этот квадрат. Обозначьте его вершины латинскими буквами.
Ранее дети уже убеждались, что периметр квадрата можно найти не только сложением, но и умножением, а теперь убеждаются, что обратная операция (нахождение стороны по периметру) влечёт за собой и обратное действие.

6. Домашнее задание.
Учитель: Одно задание вы уже получили - это обратная задача, а второе - начертить прямоугольник, периметр которого равен периметру нашего квадрата.