Цели урока: развитие практических  навыков, наблюдение, экспериментирование.

Развивать геометрическую интуицию, конструирование.

Развитие мыслительной деятельности.

Подготовка к уроку: (каждый ученик дома готовит)  5 бумажных полосок 30 см. Х 3см.

Вырезать из бумаги солдатика-перевертыша. Принести клей, ножницы.

Ход урока

Учитель: Ребята, топология - самый молодой раздел геометрии. Появилась она лишь в 19веке. Рассмотрим несколько топологических опытов. Возьмите 2 полоски склейте 2 кольца: одно простое, другое перекрученное (показываю ребятам как это склеить).

Представьте муравья, находящегося на поверхности простого кольца. Удастся ли  муравью попасть на другую сторону кольца, не переползая через край полоски?

Ребята отвечают, что нет. Дальше учитель предлагает ученикам провести непрерывную линию по перекрученному кольцу, с одной  стороны (будем предполагать, что это путь муравья).

Ребята делают вывод: линия прошла по обеим сторонам перекрученного кольца, хотя карандаш не отрывался от  бумаги.

Учитель:  Этот опыт  провел в середине 20 века немецкий астроном и геометр  Август Мебиус. Оказывается у перекрученного кольца (впоследствии его назвали  листом Мебиуса) имеется только одна  сторона.

Проведем  опыты с листом Мебиуса и  подобными ему кольцами.

Опыты. НЕСКОЛЬКО ПЕРЕКРУЧИВАНИЙ

Учитель: Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль. Что получилось?

Разрежьте перекрученное на пол-оборота кольцо (лист Мебиуса) вдоль.

Продолжайте  перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один. Разрежьте вдоль. Результаты запишите в таблицу. (Ребята выполняют, заполняют таблицу, озвучивая  выводы.) Закончить на 2,3 полуоборота дома.

Опыт Солдатик перевертыш.

Учитель: склейте лист Мебиуса и отправьте посередине листа  солдатика. В каком виде он вернется к месту старта ? (ученики проводят опыт и отвечают на вопрос).

Учитель: Лист  Мебиуса - один из объектов топологии. Интересно, что сточки зрения топологии гайка, макаронина и кружка - одинаковые объекты.

Их роднит то, что каждый

Из них имеет одно и только одно отверстие. Если бы мы из пластилиновой гайки , не разрывая и не склеивая пластилин хотели вылепить макаронину или кружку, то нам бы это удалось. А вот кастрюльку с двумя ручками  не вылепить( в ней две дырки- ручки).

- Придумайте еще несколько предметов, одинаковых с гайкой  с точки зрения топологии.

-  Перечислите несколько топологических  « родственников « шара.

- Среди букв русского алфавита  тоже есть топологически одинаковые буквы. Представьте, что они сделаны из проволоки. Какие  из букв можно преобразовывать друг в друга, если не разрывать проволоку в местах соединений и не склеивать концы?

Проволоку можно только гнуть и растягивать!(Учащиеся отвечают на эти вопросы.)

2. К топологическим относятся  и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

(На крыле  доски начерчены  фигуры.)

Учитель: Начертите одним росчерком фигуры изображенные на доске. (ребята пробуют в тетрадях начертить).

-  какие из фигур вам удалось вычертить почти сразу, решение других пришло через время, а третьи вообще не рисуются. Почему так происходит? Давайте разберемся вместе.

- Начертите  в тетрадке сеть кривых  (показываю начерченные на другом крыле доски  фигуры).

Сеть  таких кривых называют графом. Условимся  точки, в которых соединяются кривые, называть узлами. На первом графе, пять узлов, причем три из них четные (первый, второй и третий- в них соединяются четное число линий), а два из них нечетные. Эту фигуру можно начертить одним росчерком. Попробуйте.

А другая фигура- домик с дверью, содержит 9 узлов, пять из которых четные, а четыре- нечетные. Вывод: Если в фигуре( на графе) больше двух нечетных узлов, то ее нельзя нарисовать одним росчерком!

Покажем это на примере одной известной задачи-задачи о  кенигсбергских мостах, которая положила начало ЗАДАЧАМ НА ВЫЧЕРЧИВАНИЕ  ФИГУР ОДНИМ РОСЧЕРКОМ.

Город Кенигсберг  был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Различные части города были соедbнены семью мостами. Показываю ребятам на  большой таблице рисунок. Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку? Долго бы спорили жители города, если бы через Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он и разрешил спор. Возможно рассуждал так.(показываю на таблице)

К восточному острову(рис.2) ведут три моста. Если прогулка начинается вне восточного острова, то, поскольку по каждому из трёх мостов можно пройти один раз, кончаться она должна на этом же острове.(это можно сравнить с выключением настольной лампы. Если поначалу вилка была вынута то после трех операций (вставить,  вынуть и опять вставить вилку) вилка окажется в розетке и свет будет включен. К западному острову (рис.3) ведут 5 мостов, а 5 как и 3- число нечетное. Значит, поскольку  прогулка начинается вне западного острова, оканчивается она на западном  острове.

Но и на южный, и на северный берег также ведут по три моста, и к ним применимо  то же рассуждение. И так, на каком бы из четырех участков суши не начиналась прогулка, заканчивается она  обязана  на каждом из трех других участков. Но это значит, что «кенигсбергская прогулка» невозможна, так как ее нельзя закончить в нескольких местах сразу.

План города для решения этой задачи можно изобразить графом (показываю на черченый на доске граф).На этом графе четыре узла( они соответствуют берегам C и В  и островам А и Д) и семь кривых, которые обозначают  мосты  a, b, c, d, e, f, g. Если бы существовал искомый маршрут , то эту сеть кривых можно было бы вычертить одним росчерком. А решение задачи о мостах доказывает приведенное нами условие « одного росчерка».

Учитель: И так,  что вы сегодня узнали? (ученики отвечают о каких топологических объектах они получили представление: лист Мебиуса, задачи одного росчерка).

Задание на дом: закончить опыты с перекручиванием полоски 2,3 полуоборота, занести данные в начатую таблицу. Решить задачу: Начертите фигуры одним росчерком (выдаю каждому листочки с фигурами).

Пронумеруйте отрезки в соответствующей последовательности.