Воздушные шарики

Условие

У Тани и Оксаны есть несколько воздушных шариков, среди которых имеются большие и маленькие, а также красные и зеленые.

Докажите, что подруги могут взять по одному шарику так, чтобы они одновременно оказались разного размера и разного цвета.

Ответ

Предположим, что Таня взяла какой-нибудь большой шарик, а Оксана – маленький. Если эти шарики оказались разных цветов, то задача решена.

Пусть шарики оказались одного цвета, например красного. В этом случае по условию задачи среди оставшихся шариков есть зеленый.

Если это большой зеленый шарик, пусть его возьмет Таня вместо своего, а если маленький, пусть его возьмет Оксана. После этого шарики у подруг будут разного цвета и разного размера.

Кладоискатели

Условие

Три кладоискателя – Илья, Дмитрий и Алексей – нашли шкатулку, в которой было 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Кладоискатели перемешали все монеты и по очереди с завязанными глазами вытащили по 2 монеты, не сказав друг другу, кому какие монеты достались.

Илья не знает, какие монеты достались Дмитрию, а какие Алексею, но знает, какие монеты достались ему самому.

Придумайте вопрос, на который Илья ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который вы сможете догадаться, какие монеты ему достались.

Ответ

Вопрос: «Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алексея?».

Если у Ильи 2 золотые монеты, он скажет «да», поскольку у Алексея не может быть больше одной золотой монеты.

Если обе монеты Ильи серебряные, а у Алексея хотя бы одна золотая, он ответит «нет».

Если же ему достались разные монеты, он ответит «не знаю», так как у Алексея может оказаться как 2 золотые, так и 2 серебряные монеты.

Пятидесятикопеечные монеты

Условие

В ряд выложили 2001 монету достоинством 5, 10 и 50 копеек. Оказалось, что между любыми двумя пятикопеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между двумя десятикопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя пятидесятикопеечными монетами лежат хотя бы три монеты.

Определите, сколько в ряду пятидесятикопеечных монет.

Ответ

Рассмотрим любые четыре идущие подряд монеты и попробуем доказать, что среди них

есть одна пятидесятикопеечная. Если среди них нет пятидесятикопеечной, то пятикопеечные и десятикопеечные монеты чередуются, что невозможно.

Двух пятидесятикопеечных монет тоже быть не может, поскольку между ними должно быть хотя бы три монеты. Из этого можно сделать вывод, что среди первых 2000 монет ровно 500 пятидесятикопеечных. Следовательно, всего пятидесятикопеечных монет может быть 500 или 501.