Вредный старик
Условие
При посадке в автобус выстроилась очередь из n
пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в
очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл
дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).
После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При
этом, если место кого-нибудь из пассажиров занято, он садится случайным
образом на одно из свободных мест.
Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?
Подсказка: представьте, что
последний пассажир сел на свое место. Тогда в тот момент, когда один из
пассажиров занимал место последнего, он мог занять и место вредного
старика.
Ответ
Представим, что при определенном стечении обстоятельств
последний пассажир сел не на свое место (такой случай назовем
неудачным).
Тогда до прихода последнего пассажира его место было занято пассажиром S (S может быть и вредным стариком).
У пассажира S был выбор какое место занять. В
рассматриваемом случае он занял место последнего пассажира. Но с этой же
вероятностью он мог занять и место вредного старика, тогда в дальнейшем
все пассажиры, включая и последнего, займут свои собственные места.
Получается, что каждому неудачному случаю соответствует удачный, который может произойти с той же вероятностью.
Это говорит о том, что в половине случаев распределение пассажиров по местам будет неудачным.
Упорядоченные четверки
Условие
Можно ли из любых 9 различных чисел, написанных в ряд, выбрать четыре, идущих в порядке убывания или возрастания?
Подсказка: попробуйте привести
пример из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в котором условие задачи не
выполняется. Для этого разбейте их на тройки, упорядочьте числа внутри
каждой тройки в обратном порядке расположения самих групп, считая тройки
упорядоченными по наибольшему или наименьшему в них числу.
Ответ
Напишем ряд из следующих 9 чисел: 3, 2, 1, 6, 5, 4, 9,
8, 7. Докажем, что никакие 4 числа в этой последовательности не идут ни в
порядке возрастания, ни в порядке убывания. Для
этого разобьем их на тройки: 321, 654, 987.
Если какие-то 2 числа из этих девяти упорядочены по
возрастанию, они будут из разных троек. Поскольку троек всего три,
нельзя выбрать более 3 цифр, располагающихся в возрастающем порядке.
Если же какие-то 2 числа из этих девяти стоят в
убывающем порядке, они обязательно из одной тройки. Поэтому нельзя
выбрать более 3 чисел, стоящих в убывающем порядке, так как все они
должны располагаться в одной тройке. | 
