Задача 1. Сколько было рукопожатий?

Каждый из 10 человек пожал руки своим коллегам. Однако произведение 10 · 9 = 10 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие).
Итак, число рукопожатий равно:
(10 · 9) : 2 = 45.

Первый участник совещания пожал руки 9-ти коллегам, второй - 8-ми (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий - 7-ми и т.д.

Девятый ограничился одним рукопожатием, а на долю десятого выпала пассивная роль - принимать приветствия.

Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:
N = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 или
N = 1+2+3+4+5+6+7+8+9.

Сложив почленно обе суммы получаем:
2N = (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + (5+5) + (4+6) + (3+7) + (2+8) + (1+9) = 10 · 9;
N = (10 · 9) : 2 = 45.

Сколько страниц в учебнике?

ОТВЕТ.

Для нумерации первых 9-ти страниц учебника использованы 9 цифр.

Следующие 90 страниц занумерованы двузначными числами. Для этого потребовалось 90 · 2 = 180 цифр.

Остаток, приходящийся на трехзначные номера, составляет:
534 - (180+9) = 345 цифр.
Из этих цифр составлены 345:3 = 115 трехзначных номеров.

Итого число страниц в учебнике равно 9 + 90 + 115 = 214.

Задача 3. Расставить вдоль сторон цифры

Расставить вдоль сторон треугольника цифры 1, 2, 3,..., 9 так, чтобы сумма цифр вдоль каждой стороны равнялась 20-ти.

Цифра, стоящая в вершине треугольника, принадлежит каждой из сторон, выходящих из этой вершины.

ОТВЕТ.

Сумма цифр от 1 до 9 равна:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

При сумме цифр 20 вдоль каждой стороны сумма цифр по трем сторонам равна 60.
Полученная разность 60 - 45 = 15 объясняется тем, что каждая из цифр, размещенных в вершинах треугольника, принадлежит двум сторонам и суммируется дважды.
Следовательно, сумма стоящих в вершинах цифр, равна 15.
На рисунке приведен один из вариантов размещения цифр. Предлагается самостоятельно отыскать другие варианты.

Задача 4. Сколько страниц выпало из книги ?

Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов.

Номер первой выпавшей страницы - 143.

Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке.

Сколько страниц выпало из книги ?

ОТВЕТ.

Первая выпавшая страница имеет нечетный номер.

Следовательно, номер последней выпавшей страницы четный и равен 314 (единственное четное число, большее 143 и составленное из тех же цифр).

В книге осталось 142 страницы, предшествующие выпавшим.

Поэтому число выпавших страниц равно 314 - 142 = 172.