ОТВЕТ.

Поскольку сумма двух, или нескольких чисел (отличных от 1), всегда меньше их произведения ( исключая случай 2 + 2 = 2 · 2), очевидно, что некоторое число множителей в разложении должно быть равно 1.

Используя такой прием, можно довести сумму сомножителей до нужной величины, не меняя при этом их произведения.

Итак, задача сводится к разложению на множители числа 203. Поскольку ни один из "табельных"признаков делимости (на 2, 3, 5, 11) данному числу не свойственен, поищем множители, следуя правилу. Оно гласит: среди делителей составного числа обязательно есть числа, меньшие, чем корень квадратный из этого числа.

Корень квадратный из числа 203 близок к 15, поэтому ищем делители среди простых чисел, меньших 15. Таких чисел два - 7 и 13 (остальные были исключены после проверки).

203 : 7 = 29, поэтому 203 = 29 · 7 · 1 · 1 ·... · 1 (всего 167 единиц).
29 + 7 + 167 = 203.
Число 203 имеет два простых делителя, поэтому найденное решение - единственное.

Задача 2. Длина стороны прямоугольника делится на 5.

Из прямоугольных полосок со сторонами 1 см и 5 см сложен прямоугольник.

Доказать, что длина одной из сторон этого прямоугольника кратна 5.

ОТВЕТ.

Площадь каждой прямоугольной полоски равна 5 кв.см. Следовательно, площадь прямоугольника, составленного из этих полосок, кратна 5-ти.

Но площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поскольку произведение кратно 5-ти, то по меньшей мере один из сомножителей (т.е. длина одной из сторон) кратен 5-ти, что и требовалось доказать.

Задача 3. Найти последние цифры.

Найти три последние цифры произведения:

1· 2 · 3 · 4 · ... · 17 · 18

ОТВЕТ.

В приведенном выражении число 5 трижды встречается как сомножитель: в числах 5, 10, 15.

Поэтому произведение первых 18-ти натуральных чисел оканчивается тремя нулями.