Этапы открытия. После ознакомления с легендой открытия закона можно провести коллективное обсуждение вопроса о том, что же открыл Архимед и как он это сделал. Разумеется, факт вытеснения воды погружающимся телом и ощущение потери веса при погружении в воду были известны и до Архимеда. Но как эти явления можно учитывать для решения поставленной задачи, первым догадался Архимед. Важно обратить внимание учащихся на основные этапы процесса открытия. Первый шаг — наблюдение явлений вытеснения воды погружающимся телом и «потери в весе» при погружении тела в воду. Второй шаг — догадка, гипотеза о том, что может следовать из наблюдаемых явлений. Можно предположить, что ход рассуждений Архимеда был примерно таким. Выделим мысленно внутри жидкости небольшую часть, например в форме шара (рис. 39, а). Почему эта часть жидкости не опускается вниз под действием силы тяжести? Наверное, дело вот в чем. Когда мы ныряем в воду, то чувствуем ее давление со всех сторон. Чем глубже мы опускаемся под воду, тем больше давление. Следовательно, внутри воды одни ее части давят на другие, соседние. Силы давления жидкости на шар снизу больше сил давления сверху. Если мысленно выделенный водяной шар не опускается вниз, то это значит, что сумма всех сил давления жидкости на него направлена вверх и в точности равна по модулю весу этого шара. А что произойдет с твердым шаром такого же радиуса из другого вещества, если его поместить внутри жидкости вместо жидкого шара? И в этом случае выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости. Шар, вес которого равен весу вытесненной жидкости, не тонет и не всплывает. Шар, вес которого больше веса вытесненной жидкости, тонет. Шар, вес которого меньше веса вытесненной жидкости, поднимается вверх. Движение вверх прекращается тогда, когда ниже уровня жидкости остается такая часть шара, что выталкивающая сила становится равной по модулю весу тела (рис. 39, б). Вес жидкости, вытесненной плавающим телом, равен весу тела.
Рис. 39 (а, б)
Третий шаг — экспериментальная проверка гипотезы. Опыт с плавающим телом можно выполнить, измерив его вес с помощью весов и объем вытесненной жидкости с помощью измерительного цилиндра. По измеренному объему и известным значениям плотности воды и ускорения свободного падения вычисляется вес вытесненной жидкости. Заключительным этапом опыта является установление равенства веса плавающего тела весу вытесненной воды. Четвертый шаг — подтвержденная опытом гипотеза становится экспериментально установленным научным фактом. Такой факт может быть сформулирован как закон природы или закон физики: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Эксперименты с ведерком Архимеда. Опыты с ведерком Архимеда можно выполнить в виде экспериментальной задачи. Для постановки проблемы сначала показываем имеющееся оборудование — сплошной цилиндр и цилиндрический сосуд, ведерко (рис. 40). Обращаем внимание учащихся на тот факт, что цилиндр входит в ведерко и полностью его заполняет (рис. 41). Объем цилиндра равен объему ведерка.
Рис. 40 Рис. 41
Имеется спиральная пружина, на которую можно подвесить ведерко и цилиндр. Около пружины нет шкалы с указанием значений действующих сил упругости, но имеется указатель, которым можно отметить действующее значение силы. Еще имеются два стеклянных сосуда с водой. Теперь формулируем экспериментальную задачу: придумайте такие эксперименты с использованием данного оборудования, которые наглядно подтвердят закон Архимеда. В результате обсуждения различных вариантов могут быть предложены и проведены такие опыты. 1) Пустое ведерко и цилиндр подвешиваются на пружине. Указателем отмечается растяжение пружины под действием на ведерко и цилиндр силы тяжести (рис. 42). 2) Цилиндр погружается полностью в воду. Растяжение пружины уменьшается, так как, кроме силы тяжести, действующей на ведерко и цилиндр, направленной вниз, на цилиндр со стороны воды действует сила Архимеда, направленная вверх (рис. 43).
Рис. 42 Рис. 43
3) Наливаем понемногу воду в ведерко. Сила тяжести постепенно увеличивается — пружина растягивается (рис. 44). 4) Когда ведерко наполняется до краев, пружина оказывается растянутой ровно на столько, на сколько она была растянута без воды в ведерке и без погружения цилиндра в воду (рис. 45). Это значит, что сила веса воды в ведерке равна по модулю силе Архимеда, действующей со стороны воды на цилиндр.
Рис. 44 Рис. 45
Так как объем цилиндра равен объему ведерка, можно сделать вывод, что на погруженный в воду цилиндр действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Возможный вариант выполнения экспериментального задания 17.1. Для вычисления архимедовой силы FA, действующей на тело, тонущее в воде, нужно измерить объем V тела и умножить его на плотность воды:
FA = ρV.
Архимедову силу FA, действующую на тело, тонущее в воде, можно найти экспериментально, измерив с помощью динамометра вес Р тела в воздухе и силу Р1, удерживающую тело в равновесии при погружении его в воду:
P = FA + P1, FA = P – P1.
Результаты расчета и измерений можно сравнить. Учащимся, проявляющим интерес к самостоятельному выполнению экспериментов, можно предложить экспериментальное задание 17.2 олимпиадного уровня. Особенность этого задания по определению плотности вещества заключается в том, что в перечень используемого оборудования не включены весы и измерительный цилиндр. Поэтому нельзя выполнить задание путем прямых измерений массы и объема некоторого количества неизвестного вещества. В качестве вещества неизвестной плотности можно использовать, например, металлический алюминий или цинк в гранулах, кусочки мрамора или разбитого камня. Количество вещества должно быть достаточным для заполнения пробирки. Возможный вариант выполнения экспериментального задания 17.2 и варианты выполнения домашнего экспериментального задания по изготовлению «картезианского водолаза» описаны в главе 1 пункте 5. Задача 17.1. Решение. В первом и во втором случаях сила Архимеда равна силе тяжести, действующей на пробирку. При неизменности силы тяжести одинаковыми будут значения силы Архимеда: ρ1V1g = ρ2V2g. Получаем выражение для вычисления плотности ρ2 неизвестной жидкости:
ρ 2 = ρ 1 V 1 V 2 = ρ 1 l 1 l 2 , где ρ1 и ρ2 — плотности воды и неизвестной жидкости; V1 и V2 — объемы погруженной в жидкость части пробирки; l1 и l2 — длины погруженной в жидкость части пробирки. Подставляя числовые значения, находим искомую плотность: ρ2 = 900 кг/м3. Задача 17.2. Решение. Равновесие весов означает, что вес деревянного бруска равен весу гири. Вес тела в воздухе равен разности силы тяжести и силы Архимеда:
m б g− V б ρ в g= m г g− V г ρ в g, m б − m б ρ б ρ в = m г − m г ρ г ρ в , m б ( ρ б − ρ в ρ б )= m г ( ρ г − ρ в ρ г ), m б = m г ρ б ρ г ⋅ ρ г − ρ в ρ б − ρ в , m б =1 880 7900 ⋅ 7900−1,2 880−1,2 ≈1,0012 кг . Задача 17.3. Решение. Обозначим массу венца через m, массу серебра в нем через x, тогда масса золота в венце равна m – x. Учитывая, что объем Vв венца равен сумме объемов содержащихся в нем серебра и золота, получаем уравнение
V А = x ρ c + m−x ρ з , где ρс — плотность серебра; ρз — плотность золота. Отсюда масса x серебра в венце равна x= V А − m ρ с 1 ρ с − 1 ρ з . Так как масса золотого слитка равна массе m венца, то объем Vз золотого слитка равен V з = m ρ з . Отсюда следует x = V в − V з 1 ρ с − 1 ρ з . (1)
Плотности ρc серебра и ρз золота можно выразить через массу m и объемы слитков Vс серебра и Vз золота: ρ с = m V с , (2) ρ з = m V з . (3)
Из формул (1) — (3) следует x= m ( V в − V з ) V с − V з . (4)
Подстановкой найденных в опытах числовых значений величин m, Vв, Vс и Vз находим значение x массы серебра в венце: x= 2000 г (240 с м 3 −207 с м 3 ) 381 с м 3 −207 с м 3 ≈379 г . Ювелир украл 379 г золота, заменив его серебром. Задача 17.4. Решение. При максимальной нагрузке воздушного шара сила Архимеда FА равна по модулю сумме веса P1 оболочки шара с корзиной, веса P2 водорода в шаре и веса P3 полезного груза:
FА = P1 + P2 + P3.
Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:
FА = mвзg = ρвзVg.
Вес водорода в шаре равен:
P2 = mвдg = ρвдVg.
Используя данные из условия задачи, находим максимальную массу m3 полезного груза:
P3 = FА – P1 – P2,
m3g = ρвзVg – 200g – ρвдVg,
m3 = ρвзV – 200 – ρвдV = 1,2 · 300 кг – 200 кг – 0,09 · 300 кг ≈ 133 кг.
Задача 17.5. Решение. Измерения на фотографии показывают, что цилиндр из льда высотой 26 мм плавает при погружении в воду на глубину 23 мм. По закону Архимеда вес вытесненной льдом воды равен весу льда:
mвg = mлg, ρвVв = ρлVл, ρвShв = ρлShл.
Отсюда плотность льда равна:
ρ л = ρ в h в h л = 1000 кг/ м 3 ⋅ 23 мм 26 мм ≈885 кг/ м 3 .
Дополнительные задачи
Задача 17.6. На человека, плавающего на поверхности воды, действует сила Архимеда 800 Н. На сколько увеличится эта сила после того, как человек дополнительно вдохнет 1 дм3 воздуха? Решение. Сила Архимеда, действующая на плавающего человека, равна силе тяжести, действующей на него. После вдоха масса человека увеличилась на массу 1 дм3 воздуха, равную m1 = ρ1ΔV1 = 1,2 кг/м3 · 0,001 м3 = 0,0012 кг. Сила Архимеда, действующая на плавающего человека, после вдоха увеличится на ΔF = m1g =0,0012 · 9,8 Н ≈ 0,012 Н. Но если человек ныряет, то действующая на него сила Архимеда в результате вдоха увеличится на ΔF = ρ2ΔV1g = 1000 · 0,001 · 9,8 Н = 9,8 Н, где ρ2 — плотность воды. Задача 17.7. В измерительном цилиндре уровень воды находился на делении 100 см3. До какого деления повысится уровень воды в цилиндре при опускании в воду 20 г льда? Как изменится уровень воды в цилиндре после таяния льда? Плотность воды 1000 кг/м3, плотность льда 900 кг/м3. Решение. Если лед плавает в воде, то он вытеснил такое количество воды, что ее вес равен весу льда, а масса вытесненной воды равна массе льда, т. е. 20 г. Объем вытесненной воды массой 20 г равен 20 см3, поэтому уровень воды в цилиндре повысится до деления 120 см3. После таяния льда уровень воды в цилиндре не изменится. Если бы лед был полностью погружен в воду, то после таяния льда уровень воды в цилиндре немного понизился бы, так как объем, занимаемый 20 г льда, больше, чем объем, занимаемый 20 г воды, которая образуется в результате таяния льда. Но плотность льда меньше плотности воды, и поэтому лед плавает на поверхности, небольшая часть его возвышается над поверхностью воды. Пример такого плавания льда в природе — айсберги. Обсуждая эту проблему, обязательно задаешь вопрос: какая часть объема айсберга находится над поверхностью воды? Возьмем равные массы льда и воды: mл = mв, ρлVл = ρвVв. Найдем объем воды: Vв = (ρл/ρв)· Vл, Vв = (900/1000) · Vл = 0,9 · Vл. (1)
Если выпилить кусок льда точно по размеру какой-то коробки, поместить его внутри, отметить уровень его верхней поверхности, то после таяния льда согласно выражению (1) уровень понизится на 0,1 часть первоначальной высоты. Задача 17.8. На равноплечих весах произведено взвешивание алмазов. Алмазы были уравновешены железной гирей массой 20 г. Чему равна масса алмазов, если взвешивание произведено в воздухе? Плотность воздуха 1,2 кг/м3, плотность алмаза 3545 кг/м3, плотность железа 7974 кг/м3. Решение. Весы находятся в равновесии при условии равенства сил давления на чаши весов со стороны алмазов и гири. Сила давления тела на опору в воздухе равна разности силы тяжести и силы Архимеда:
mag – Vaρвg = mгg – Vгρвg.
Отсюда получаем:
m а = m г ρ а ρ ж ⋅ ρ ж − ρ в ρ а − ρ в . Подставляя числовые значения, находим массу алмазов:
m а =20 г ⋅ 3545 7974 ⋅ 7974−1,2 3545−1,2 ≈20,0038 г . При такой небольшой разнице между массой гири и массой, полученной с учетом действия силы Архимеда на тела в воздухе, при взвешивании в воздухе яблок и помидоров можно не учитывать силу Архимеда. Но, например, при взвешивании алмазов следует учитывать силу Архимеда. Задача 17.9. Масса воздушного шара 300 кг. Какая масса гелия потребуется для заполнения шара для того, чтобы шар мог поднять полезный груз массой 150 кг? Каким будет объем шара? Плотность воздуха 1,2 кг/м3, плотность гелия 0,178 кг/м3. Решение. Для подъема шара сила Архимеда должна быть больше силы тяжести, действующей на шар с грузом. Обозначим через m массу гелия, через М массу оболочки шара и корзины с грузом. Запишем условие равенства силы Архимеда силе тяжести шара с грузом: Vρвg = (M + m) g, m ρ г ρ в =M+m , где V — объем гелия; ρг — плотность гелия; ρв — плотность воздуха. Из уравнения следует m=M ρ г ρ в − ρ г . Подставляя значения, получаем: m=450 кг 0,178 1,2−0,178 ≈78,4 кг . Для подъема шара с грузом необходимо более 78,4 кг гелия, объем шара должен быть не менее V= m ρ г = 78,4 кг 0,178 кг/ м 3 ≈440 м 3 .
