Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это

одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия до-

статочно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представи-

телями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и

Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные сис-

темы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть толь-

ко бытие, небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие;

3)Бытие и небытие тождественны. Истинной Парменид признает только

первую посылку. Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо,

вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множествен-

ность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик

Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения

о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказатель-

ств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего

девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы

доказательства против движения; например, "движения не существует на

том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до поло-

вины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину

этой половины и т.д.".

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения

"здравого смысла", выводам, но их нельзя было просто отбросить как

несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли

математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на сос-

тавные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструи-

ровать исходные положения, которые он взял за основу своей концеп-

ции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской

науке фундаментальные философские представления существенно опира-

лись на математические принципы. Видное место среди них занимали

следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно

малых, но протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротя-

женных величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой

заранее заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представле-

ний с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный

Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему ма-

тематических знаний. Целый ряд важнейших математических построений,

считавшихся до этого несомненно истинными, в свете зеноновских пост-

роений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привели к

необходимости переосмыслить такие важные методологические вопросы,

как природа бесконечности, соотношение между непрерывным и прерыв-

ным и т.п. Они обратили внимание математиков на непрочность фунда-

мента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее

воздействие на прогресс этой науки.

Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль матема-

тики в формировании элейской философии. Так, установлено, что апории

Зенона связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прог-

рессии. На этом основании советский историк математики Э. Кольман

сделал предположение, что "именно на математический почве суммирова-

ния таких прогрессий и выросли логико-философские апории Зенона".

Однако такое предположение, по-видимому, лишено достаточных основа-

ний, так как оно слишком жестко связывает учение Зенона с математи-

кой при том, что имеющие исторические данные не дают основания ут-

верждать, что Зенон вообще был математиком.

Огромное значение для последующего развития математики имело

повышение уровня абстракции математического познания, что произошло

в большой степени благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой

проявления этого процесса было возникновение косвенного доказатель-

ства ("от противного"), характерной чертой которого является доказа-

тельство не самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким

образом был сделан шаг к становлению математики как дедуктивной нау-

ки, созданы некоторые предпосылки для ее аксиоматического построе-

ния.

Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились

мощным толчком для принципиально новой постановки важнейших методо-

логических вопросов математики, а с другой - послужили источником

возникновения качественно новой формы обоснования математических

знаний.