1. В каждом из 10 мешков находится по 10 монет. Каждая монета весит 10 граммов. Но в одном мешке все монеты фальшивые – не по 10, а по 11 граммов. Как с помощью только одного взвешивания определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты? Все мешки пронумерованы от 1 до 10. Их можно открывать и вытаскивать любое количество монет из каждого.

2. На всех трех железных банках с печеньем перепутаны этикетки: «Овсяное печенье», «Песочное печенье» и «Шоколадное печенье». Банки закрыты, и можно взять только одно печенье из одной (любой) банки, а потом правильно расположить этикетки. Как это сделать?

3. В шкафу 22 белых носка и 35 черных носков. Надо в полной темноте достать из шкафа пару одного цвета. Сколько носков нужно взять, чтобы с гарантией получить совпадающую пару?

4. Старинным часам требуется 30 секунд, чтобы пробить 6 часов. За сколько секунд часы пробьют 12 часов?

5. В пруду растет один лист лилии. Каждый день число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями лилии наполовину, если известно, что листья полностью покроют пруд через 100 дней?

6. Пассажирский лифт поднимается на пятый этаж со скоростью вдвое большей, чем грузовой лифт, который идет до третьего этажа. Какой из этих двух лифтов придет раньше: грузовой на третий этаж или пассажирский на пятый, если стартовали они с первого этажа одновременно?

7. Летит гусь. Навстречу ему стая гусей. «Здравствуйте, 100 гусей», – говорит он им. Они отвечают: «Нас не 100 гусей; вот если бы нас было столько, сколько сейчас, да еще столько, да еще пол-столько и четверть-столько, да еще ты, вот тогда нас было бы 100 гусей». Сколько гусей в стае?

8. Докажем, что 3 = 7. Известно, что если над каждой частью равенства проделать одну и ту же операцию, то равенство останется неизменным. Отнимем у каждой части нашего равенства по пять: 3–5 = 7–5. Получится: —2 = 2. Теперь возведем каждую часть равенства в квадрат: (—2)² = 2². Получится: 4 = 4, следовательно: 3 = 7. Найдите ошибку в этом рассуждении.

9. Как известно, в любом атоме есть ядро, размеры которого меньше размеров самого атома. Если размер атомного ядра равен 10^-12 см, а размер всего атома равен 10^-6 см, следовательно, ядро по размеру меньше самого атома в 2 раза (12: 6 = 2). Верно ли это утверждение? Если нет, то во сколько раз атомное ядро меньше атома?

10. Можно ли на самолете долететь до Луны? Надо принять во внимание, что самолеты снабжены реактивными двигателями, как и космические ракеты, и работают на таком же топливе.

11. Можно ли иголкой проколоть пятидесятикопеечную монету?

12. Стандартный стакан (200 г) наполнен водой до краев. Сколько булавок можно в него накидать, чтобы из стакана не вылилось ни капли воды?

13. У Иванова в кабинете висит портрет. Иванова спрашивают: «Кто изображен на этом портрете?» Иванов путано отвечает: «Отец изображенного на портрете есть единственный сын отца говорящего». Кто изображен на портрете?

14. Миссионер попал в плен к дикарям. Те посадили его в темницу и сказали: «Отсюда только два выхода – один на свободу, другой к гибели; выбраться тебе помогут два воина – один всегда говорит правду, другой всегда лжет, но неизвестно, кто из них лжец, а кто правдолюбец; ты можешь задать любому из них только один вопрос». Какой вопрос надо задать, чтобы выбраться на свободу?

15. В монастыре висят две веревки из редкого ценного шелка. Они прикреплены к середине потолка на расстоянии одного метра друг от друга и достигают пола. Вор-акробат хочет украсть как можно больше веревки. Высота потолка 20 м. Вор знает, что если он спрыгнет или упадет с высоты более 5 м, то не сможет выбраться из монастыря. Поскольку лестницы у него нет, ему остается только лезть по веревке. Вор украл обе веревки почти целиком. Как он это сделал?

16. Девушка ехала в такси. По пути она так много болтала, что шофер занервничал. Он сказал ей, что очень сожалеет, но не слышит ни слова, поскольку его слуховой аппарат не работает, а он глух как пробка. Девушка замолчала, но, когда они доехали до места, поняла, что водитель пошутил. Как она догадалась?

17. Вы находитесь в каюте стоящего на якоре океанского лайнера. В полночь вода была на 4 метра ниже иллюминатора и поднималась на 0,5 метра в час. Если эта скорость удваивается каждый час, то за какое время вода достигнет иллюминатора?

18. Три путешественника прилегли отдохнуть в тени деревьев и уснули. Пока они спали, шутники вымазали углем их лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, они начали смеяться, причем каждому из них казалось, что двое других смеются друг над другом. Внезапно один из них перестал смеяться, так как сообразил, что его собственный лоб тоже испачкан. Как он об этом догадался?

19. Сдвинув только одну из четырех спичек, сделайте квадрат (рис. 42). Спички нельзя ни гнуть, ни ломать.

20. С восходом солнца путешественник начал подниматься по узкой, извилистой тропинке на вершину горы. Он шел то быстрее, то медленнее и часто останавливался, чтобы отдохнуть. Проделав длинный путь, он достиг вершины только к закату солнца. Проведя ночь на вершине, с восходом солнца он отправился в обратный путь по той же тропинке. Спускался он также с неравномерной скоростью, неоднократно отдыхая по дороге, и к закату солнца достиг подножия горы. Понятно, что средняя скорость спуска превышала среднюю скорость подъема. Есть ли на тропинке такая точка, которую путешественник проходил в одно и то же время суток – как во время подъема, так и во время спуска?

21. У скульптора есть 10 одинаковых статуй. Он хочет, чтобы у каждой из четырех стен зала находилось по три статуи. Как их разместить?

22. Не отрывая карандаша от бумаги, начертите следующие фигуры (рис. 43).

23. Один математик предложил торговцу такую сделку. Математик дает торговцу 100 рублей, а торговец дает математику взамен 1 копейку. Каждый следующий день математик дает торговцу на 100 рублей больше, чем в предыдущий, т. е. на второй день он дает ему 200 рублей, на третий – 300 рублей и т. д. А торговец дает математику взамен в 2 раза больше денег, чем в предыдущий день, т. е. на второй день он дает ему 2 копейки, на третий – 4 копейки, на четвертый – 8 копеек, на пятый – 16 копеек и т. д. Производить такой обмен они договорились в течение 30 дней. Кому из них этот обмен выгоден и почему?

24. Годовщина Октябрьской революции по старому стилю попадает на 25 октября, а по новому стилю – на 7 ноября. Таким образом, все события по старому стилю на 13 дней предшествуют тем же самым событиям по новому стилю. Значит, если по новому стилю Новый год приходится на 1 января, то по старому стилю он должен попадать на 19 декабря. Почему же мы тогда отмечаем старый Новый год 14 января?

25. Из спичек сделан рисунок рюмки, наполненной вином (рис. 44). Переставьте две спички так, чтобы на вновь получившемся рисунке вино оказалось вне рюмки. (При демонстрации роль вина может сыграть спичка.)

26. Как расположить шесть сигарет таким образом, чтобы все они соприкасались друг с другом, т. е. чтобы каждая из них касалась пяти остальных?

27. Перед вами стоят три человека. Один из них Правдолюб (всегда говорит правду), другой Лжец (всегда лжет), а третий Дипломат (то говорит правду, то лжет). Вы не знаете, кто есть кто, и задаете вопрос человеку, который стоит слева:

– Кто стоит рядом с тобой?

– Правдолюб, – отвечает он.

Потом вы спрашиваете человека, стоящего в центре:

– Кто ты?

– Дипломат, – отвечает тот.

И, наконец, вы спрашиваете человека, который стоит справа:

– Кто стоит рядом с тобой?

– Лжец, – отвечает он.

Кто же стоит слева, кто – справа, кто – в центре?

28. В десятилитровом ведре находится 10 литров вина. В вашем распоряжении два пустых ведра: объем одного из них 7 литров, а другого – 3 литра. Как с помощью этих ведер путем переливаний разделить 10 литров вина на две одинаковые части по 5 литров?

29. У Андрея часы отстают на 10 минут, но он уверен, что они на 5 минут спешат. Он договорился с Катей встретиться ровно в 8 часов у электрички, чтобы поехать за город. У Кати часы на 5 минут спешат, но она думает, что они отстают на 10 минут. Кто из них первым придет к поезду?

30. Черепаха, которой 110 лет, спросила динозавра: «Сколько тебе лет?» Динозавр, привыкший выражаться сложно и запутанно, ответил: «Мне сейчас в 10 раз больше лет, чем было тебе тогда, когда мне было столько же лет, сколько тебе сейчас». Сколько лет динозавру?

31. Угонщик похитил автомобиль, пытаясь пробраться в пункт В, однако был обнаружен милицией в пункте А. Уходя от погони, он начал петлять, двигаясь из А в В по кривой ACDB по дугам малых полуокружностей так, как это показано стрелками (рис. 45). Преследовавшие его милиционеры стартовали из А мгновением позже и, надеясь перехватить угонщика в пункте В, отправились по дуге большой полуокружности. Догонят ли они угонщика в пункте В, если их скорости совершенно одинаковы?

32. Кате вдвое больше лет, чем будет Насте тогда, когда Оле исполнится столько лет, сколько сейчас Кате. Кто из них самый старший по возрасту, а кто самый младший?

33. В одном классе ученики разделились на две группы. Одни должны были всегда говорить только правду, а другие – только неправду. Все ученики класса написали сочинение на свободную тему, а в конце сочинения каждый ученик должен был приписать одну из фраз: «Все здесь написанное – правда», «Все здесь написанное – ложь». Всего в классе было 17 правдолюбцев и 18 лжецов. Сколько сочинений с утверждением о правдивости написанного насчитал учитель при проверке работ?

34. Сколько всего прапрадедушек и прапрабабушек было у всех ваших прапрадедушек и прапрабабушек?

35. На столе разложен носовой платок. В его центре стоит горлышком вниз пустая стеклянная бутылка. Как вытянуть платок из-под бутылки, не прикасаясь к ней?

36. В левой части равенства надо поставить только одну черточку (палочку) для того, чтобы равенство получилось истинным:

5 + 5 + 5 = 550.

37. Докажем, что три раза по два будет не шесть, а четыре. Возьмем спичку, сломаем ее пополам. Это первый раз два. Потом возьмем половинку и сломаем ее пополам. Это второй раз два. Затем возьмем оставшуюся половинку и ее тоже сломаем пополам. Это третий раз два. Получилось четыре. Следовательно, три раза по два будет четыре, а не шесть. Найдите ошибку в этом рассуждении.

38. Как соединить девять точек между собой четырьмя линиями, не отрывая карандаша от бумаги (рис. 46)?

39. В магазине хозяйственных товаров покупатель спросил:

– Сколько стоит один?

– Двадцать рублей, – ответил продавец.

– Сколько стоит двенадцать?

– Сорок рублей.

– Хорошо, дайте мне сто двенадцать.

– Пожалуйста, с вас шестьдесят рублей. Что покупал этот человек?

40. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

41. Три человека заплатили за обед 30 рублей (каждый по 10 рублей). После их ухода хозяйка обнаружила, что обед стоит не 30 рублей, а 25 рублей, и отправила мальчика вдогонку, чтобы вернуть 5 рублей. Путники взяли по 1 рублю, а 2 рубля оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10 рублей, а по 9. Их было трое: 9 · 3 = 27, и еще 2 рубля у мальчика: 27 + 2 = 29. Куда делся еще один рубль?

42. В бассейн площадью 1 гектар налили 1 000 000 литров воды. Можно ли плавать в таком бассейне?

43. Что больше: ?

44. У одного мальчика не хватает до стоимости линейки 24 копеек, а у другого не хватает до этой стоимости двух копеек. Когда они сложили свои деньги вместе, то все равно не смогли купить линейку. Сколько стоит линейка?

45. В одном парламенте депутаты разделились на консерваторов и либералов. Консерваторы говорили по четным числам только правду, а по нечетным – только неправду. Либералы, наоборот, говорили только правду по нечетным числам, а по четным числам – только неправду. Каким образом с помощью одного вопроса, заданного любому депутату, можно точно установить, какое сегодня число: четное или нечетное? Ответы должны быть определенными: «да» или «нет».

46. Бутылка с пробкой стоит 1 рубль 10 копеек. Бутылка дороже пробки на 1 рубль. Сколько стоит бутылка и сколько стоит пробка?

47. Катя живет на четвертом этаже, а Оля – на втором. Поднимаясь на четвертый этаж, Катя преодолевает 60 ступенек. Сколько ступенек надо пройти Оле, чтобы подняться на второй этаж?

48. Математик написал на листке двузначное число. Когда он перевернул листок вверх ногами, число уменьшилось на 75. Какое число было написано?

49. Прямоугольный лист бумаги сложили пополам 6 раз. На сложенном листе, не на сгибах, сделали 2 дырки. Сколько дырок будет на листе, если его развернуть?

50. Два отца и два сына поймали трех зайцев: каждый по одному. Как такое возможно?

51. Собеседник предлагает вам задумать любое трехзначное число. Потом он просит продублировать его, чтобы получилось шестизначное число. Например, вы задумали число 389, продублировав его, получаете шестизначное число 389 389; если задумано число 546, получится 546 546 и т. п. Далее собеседник предлагает вам это шестизначное число разделить на 13. «Вдруг получится без остатка», – говорит он. Вы производите деление с помощью калькулятора (можно и без него) и действительно ваше число делится на 13 без остатка. Далее он предлагает вам получившийся результат разделить на 11. Вы делите, и опять получается без остатка. И, наконец, собеседник просит вас разделить получившийся результат на 7. Деление не только проходит без остатка, но и дает в результате то самое трехзначное число, которое вы произвольно выбрали сначала. Каким образом это происходит?

52. Разделите фигуру, состоящую из трех одинаковых квадратов, на четыре равные части (рис. 47).

53. Сто школьников одновременно изучали английский и немецкий языки. По окончании курсов они сдавали экзамен, который показал, что 10 школьников не освоили ни тот, ни другой язык. Из оставшихся немецкий сдали 75 человек, а 83 выдержали экзамен по английскому. Сколько экзаменовавшихся владеет обоими языками?

54. Каким образом из кружки, ковшика, кастрюли и любой другой посуды правильной цилиндрической формы, наполненной до краев водой, отлить ровно половину, не используя никаких измерительных приборов?

55. Часовая и минутная стрелки иногда совпадают, например, в 12 часов или в 24 часа. Сколько раз они совпадут между 6 часами утра одного дня и 10 часами вечера другого дня?

56. Теплоход доплывает от Нижнего Новгорода до Астрахани за 5 суток, обратный путь он проделывает с той же скоростью за 7 суток. За сколько суток от Нижнего Новгорода до Астрахани доплывет плот?

57. Три курицы несут три яйца за три дня. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

58. Как написать число 100 с помощью пяти единиц и знаков действий?

59. Давайте подсчитаем, сколько дней в году мы работаем, а сколько отдыхаем. В году 365 дней. Восемь часов в день уходит у каждого на сон – это 122 дня ежегодно. Вычитаем, остается 243 дня. Восемь часов в день занимает отдых после работы, это тоже 122 дня в год. Вычитаем, остается 121 день. По выходным, которых в году 52, никто не работает. Вычитаем, остается 69 дней. Далее, четырехнедельный отпуск – это 28 дней. Вычитаем, остается 41 день. Примерно 11 дней в году занимают различные праздники. Вычитаем, остается 30 дней. Таким образом, мы работаем всего один месяц в году. Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

60. В один ряд стоят три наполненных водой стакана и три пустых (рис. 48). Каким образом сделать так, чтобы наполненные и пустые стаканы чередовались, если можно взять в руки только один стакан?

61. Если 1 рабочий может построить дом за 12 дней, то 12 рабочих построят его за 1 день. Следовательно, 288 рабочих построят дом за 1 час, 17 280 рабочих построят его за 1 минуту, а 1 036 800 рабочих смогут построить дом за 1 секунду. Верно ли это рассуждение? Если нет, то в чем заключается ошибка?

62. Какое слово всегда пишется неправильно?

63. «Ручаюсь, – сказал продавец в зоомагазине, – что этот попугай будет повторять любое услышанное слово». Обрадованный покупатель приобрел чудо-птицу, но, придя домой, обнаружил, что попугай нем, как рыба. Тем не менее продавец не лгал. Как такое возможно?

64. В комнате есть свеча и керосиновая лампа. Что вы зажжете первым, когда вечером войдете в эту комнату?

65. Петр очень устал и лег спать в 7 часов вечера, поставив механический будильник на 9 часов утра. Сколько часов ему удастся поспать?

66. Отрицание истинного предложения является ложным предложением, а отрицание ложного – истинным. Однако следующий пример говорит, что это как будто не всегда так. Предложение Это предложение содержит шесть слов является ложным, поскольку в нем не шесть, а пять слов. Но отрицание Это предложение не содержит шесть слов, также является ложным, так как в нем как раз шесть слов. Как разрешить это недоразумение?

67. Сколько существует восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум?

68. Периметр фигуры, составленной из квадратов, равен шести (рис. 49). Чему равна ее площадь?

69. Чему равна разность куба суммы квадратов чисел 2 и 3 и квадрата суммы их кубов?

70. Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

71. Со временем человек обязательно побывает на Марсе. Саша Иванов – это человек. Следовательно, Саша Иванов со временем обязательно побывает на Марсе. Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

72. Для получения оранжевой краски надо смешать 6 частей желтой краски с 2 частями красной. Есть 3 грамма желтой краски и 3 грамма красной. Сколько граммов оранжевой краски можно получить в этом случае?

73. Из 12 спичек составлено 4 квадрата (рис. 50). Каким образом надо убрать 2 спички, чтобы осталось 2 квадрата?

74. Какой знак надо поставить между числами 5 и 6, чтобы получившееся число было больше 5, но меньше 6?

5<5? 6<6

75. В футбольной команде 11 игроков. Их средний возраст равен 22 годам. Во время матча один из игроков выбыл. При этом средний возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку?

76.

– Сколько лет твоему отцу? – спрашивают мальчика.

– Столько же, сколько и мне, – невозмутимо отвечает он.

– Как такое возможно?

– Очень просто: мой отец стал моим отцом только тогда, когда я родился, ведь до моего рождения он не был моим отцом, значит, моему отцу столько же лет, сколько и мне.

Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

77. В мешке 24 килограмма гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 килограммов гвоздей?

78. Петр лгал с понедельника по среду и говорил правду в другие дни, а Иван лгал с четверга по субботу и говорил правду в другие дни. Однажды они одинаково сказали: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Какой день был вчера?

79. Трехзначное число записали цифрами, а потом – словами. Получилось, что все цифры в этом числе разные и возрастают слева направо, а все слова начинаются с одной и той же буквы. Какое это число?

80. В равенстве, составленном из спичек:

Х I I I = V I I–V I,

допущена ошибка. Каким образом надо переложить одну спичку, чтобы равенство стало верным?

81. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если к нему приписать такое же число?

82. Если бы не было времени, то не было бы ни одного дня. Если бы не было ни одного дня, то всегда стояла бы ночь. Но если бы всегда стояла ночь, то было бы время. Следовательно, если бы не было времени, оно было бы. В чем заключается причина данного недоразумения?

83. В каждой из двух корзин по 12 яблок. Настя взяла несколько яблок из первой корзины, а Маша взяла из второй столько, сколько осталось в первой. Сколько яблок осталось в двух корзинах вместе?

84. У одного фермера 8 свиней: 3 розовые, 4 бурые и 1 черная. Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдется, по крайней мере, еще одна свинья такой же масти, как и ее собственная?

85. Единственный сын отца сапожника – плотник. Кем приходится сапожник плотнику?

86. Если 1 рабочий может построить дом за 5 дней, значит, 5 рабочих построят его за 1 день. Следовательно, если 1 корабль пересекает Атлантический океан за 5 дней, то 5 кораблей пересекут его за 1 день. Верно ли это утверждение? Если нет, то в чем заключается допущенная в нем ошибка?

87. Возвращаясь из школы, Петя и Саша зашли в магазин, где они увидели большие весы.

– Давай взвесим наши портфели, – предложил Петя.

Весы показали, что Петин портфель весит 2 килограмма, а вес Сашиного портфеля оказался равным 3 килограммам. Когда мальчики взвесили два портфеля вместе, весы показали 6 килограммов.

– Как же так? – удивился Петя. – Ведь 2 плюс 3 не равно 6.

– Ты что, не видишь? – ответил ему Саша. – У весов сдвинута стрелка.

Каков вес портфелей на самом деле?

88. Как разместить 6 кружочков на плоскости таким образом, чтобы получилось 3 ряда по 3 кружочка в каждом ряду?

89. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

90. Как от куска материи в 2/3 м отрезать 1/2 м без помощи каких-либо измерительных приборов?

91. Часто говорят, что композитором (или художником, или писателем, или ученым) надо родиться. Верно ли это? Действительно ли композитором (художником, писателем, ученым) надо родиться?

92. Для того чтобы видеть, совсем не обязательно иметь глаза. Без правого глаза мы видим. Без левого тоже видим. А поскольку кроме левого и правого глаза других глаз у нас нет, то оказывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения. Верно ли это утверждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

93. Попугай прожил меньше 100 лет и умеет отвечать только на вопросы «да» и «нет». Сколько вопросов ему надо задать, чтобы узнать его возраст?

94. Сколько кубиков изображено на рис. 51?

95. Три теленка – сколько ног?

96. Один человек, попавший в неволю, рассказывает следующее: «Моя темница находилась в верхней части замка. После многодневных усилий мне удалось выломать один из прутьев в узком окне. В образовавшееся отверстие можно было пролезть, но расстояние до земли было слишком велико, чтобы просто спрыгнуть вниз. В углу темницы я обнаружил забытую кем-то веревку. Однако она оказалась слишком короткой, чтобы можно было спуститься по ней. Тогда я вспомнил, как один мудрец удлинял слишком короткое для него одеяло, обрезав часть его снизу и пришив ее сверху. Поэтому я поспешил разделить веревку пополам и снова связать две образовавшиеся части. Тогда она стала достаточно длинной, и я благополучно спустился по ней вниз». Каким образом рассказчику удалось это сделать?

97. Собеседник просит вас задумать любое трехзначное число, а потом предлагает записать его цифры в обратном порядке, чтобы получилось еще одно трехзначное число. Например, 528–825, 439–934 и т. п. Далее он просит от большего числа отнять меньшее и сообщить ему последнюю цифру разности. После этого он называет разность. Как он это делает?

98. Семеро шли – семь рублей нашли. Если бы не семеро, а трое пошли, то много бы нашли?

99. Разделите рисунок, состоящий из семи кружочков, тремя прямыми линиями на семь частей таким образом, чтобы в каждой части находился один кружочек (рис. 52).

100. Земной шар стянули обручем по экватору. Потом длину обруча увеличили на 10 метров. При этом между поверхностью Земного шара и обручем образовался небольшой зазор. Сможет ли человек пролезть в этот зазор? Длина земного экватора приблизительно равна 40 000 километрам.